Cálculo Ejemplos

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{(y - 1) (y^{2} - y)} d y$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y (y^{2} - y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 (y^{2} - y)} d y$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- y) - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Paso 4

Reordena $y$ y $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y - 1 y^{2} - 1 (- y)} d y$

Paso 5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{1 + 2} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 7

Suma $1$ y $2$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 1 y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 8

Factoriza el negativo.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y \cdot y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 10

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - (y^{1} y^{1}) - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{1 + 1} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot - 1 y} d y$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + 1 y} d y$

Paso 12.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - y^{2} - 1 y^{2} + y} d y$

Paso 13

Resta $1 y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$\int \frac{y^{3} - y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Paso 14

Divide $y^{3} - y - 1$ por $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

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Paso 14.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

Paso 14.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $y^{3}$ .

									$1$
	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$

Paso 14.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$y$

$1$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y$

$0$

Paso 14.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{3} - 2 y^{2} + y + 0$ .

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$

Paso 14.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

								$1$
$y^{3}$	-	$2 y^{2}$	+	$y$	+	$0$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$y$	-	$1$
							-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$	-	$y$	-	$0$
									+	$2 y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Paso 14.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 + \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$y + C + \int \frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y^{3} - 2 y^{2} + y} d y$

Paso 17

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 17.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 17.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 17.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3} - 2 y^{2} + y$ .

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Paso 17.1.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} + y}$

Paso 17.1.1.1.2

Factoriza $y$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y}$

Paso 17.1.1.1.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y^{1}}$

Paso 17.1.1.1.4

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 1}$

Paso 17.1.1.1.5

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1}$

Paso 17.1.1.1.6

Factoriza $y$ de $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1)}$

Paso 17.1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 17.1.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 y + 1^{2})}$

Paso 17.1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Paso 17.1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 17.1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 2 y - 1}{y {(y - 1)}^{2}}$

Paso 17.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}}$

Paso 17.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$

Paso 17.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 17.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) (y {(y - 1)}^{2})}{y {(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) ({(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.6

Cancela el factor común de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Paso 17.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y^{2} - 2 y - 1) {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2}} = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.6.2

Divide $2 y^{2} - 2 y - 1$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.7.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 17.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = \frac{A (y {(y - 1)}^{2})}{y} + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.1.2

Divide $A ({(y - 1)}^{2})$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ({(y - 1)}^{2}) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.2

Reescribe ${(y - 1)}^{2}$ como $(y - 1) (y - 1)$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A ((y - 1) (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.3

Expande $(y - 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 17.1.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y (y - 1) - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 17.1.7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.7.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4.1.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - y - y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.4.2

Resta $y$ de $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A (y^{2} - 2 y + 1) + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + A (- 2 y) + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.6

Simplifica.

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Paso 17.1.7.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A \cdot 1 + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.6.2

Multiplica $A$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{(B) (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.7

Cancela el factor común de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Paso 17.1.7.7.1

Cancela el factor común.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + \frac{B (y {(y - 1)}^{2})}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.7.2

Divide $(B) (y)$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + (B) (y) + \frac{(C) (y {(y - 1)}^{2})}{y - 1}$

Paso 17.1.7.8

Cancela el factor común de ${(y - 1)}^{2}$ y $y - 1$ .

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Paso 17.1.7.8.1

Factoriza $y - 1$ de $(C) (y {(y - 1)}^{2})$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{y - 1}$

Paso 17.1.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.1.7.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Paso 17.1.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{(y - 1) (C (y (y - 1)))}{(y - 1) \cdot 1}$

Paso 17.1.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + \frac{C (y (y - 1))}{1}$

Paso 17.1.7.8.2.4

Divide $C (y (y - 1))$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y (y - 1))$

Paso 17.1.7.9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Paso 17.1.7.10

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} + y \cdot - 1)$

Paso 17.1.7.11

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - 1 \cdot y)$

Paso 17.1.7.12

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C (y^{2} - y)$

Paso 17.1.7.13

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} + C (- y)$

Paso 17.1.7.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 A y + A + B y + C y^{2} - C y$

Paso 17.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1.8.1

Mueve $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Paso 17.1.8.2

Reordena $B$ y $y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + A + B y + C y^{2} - C y$

Paso 17.1.8.3

Mueve $A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + B y + C y^{2} - C y + A$

Paso 17.1.8.4

Mueve $B y$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} - 2 y A + C y^{2} + B y - C y + A$

Paso 17.1.8.5

Mueve $- 2 y A$ .

$2 y^{2} - 2 y - 1 = A y^{2} + C y^{2} - 2 y A + B y - C y + A$

Paso 17.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 17.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + C$

Paso 17.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 17.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A$

Paso 17.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$- 1 = A$

Paso 17.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 17.3.1

Reescribe la ecuación como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$2 = A + C$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 17.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 17.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $2 = A + C$ por $- 1$ .

$2 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 17.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = - 2 A + B - 1 C$

Paso 17.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 2 = - 2 A + B - 1 C$ por $- 1$ .

$- 2 = - 2 \cdot - 1 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Paso 17.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.3.2.4.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 = 2 + B - 1 C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Paso 17.3.2.4.1.2

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$2 = - 1 + C$

$A = - 1$

Paso 17.3.3

Resuelve $C$ en $2 = - 1 + C$ .

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Paso 17.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + C = 2$ .

$- 1 + C = 2$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Paso 17.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 17.3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 2 + 1$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Paso 17.3.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

$C = 3$

$- 2 = 2 + B - C$

$A = - 1$

Paso 17.3.4

Reemplaza todos los casos de $C$ por $3$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $- 2 = 2 + B - C$ por $3$ .

$- 2 = 2 + B - (3)$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.4.2.1

Simplifica $2 + B - (3)$ .

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Paso 17.3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 2 + B - 3$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.4.2.1.2

Resta $3$ de $2$ .

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$- 2 = B - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.5

Resuelve $B$ en $- 2 = B - 1$ .

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Paso 17.3.5.1

Reescribe la ecuación como $B - 1 = - 2$ .

$B - 1 = - 2$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 17.3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 2 + 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.5.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = - 1$

Paso 17.3.6

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 C = 3 A = - 1$

Paso 17.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, C = 3, A = - 1$

Paso 17.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{C}{y - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Paso 17.5

Simplifica.

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Paso 17.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y} + \frac{- 1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1}$

Paso 17.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C + \int - \frac{1}{y} - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} + \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 18

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C + \int - \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 19

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C - \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 20

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 21

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 22

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 22.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 22.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 22.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 22.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 22.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 22.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 22.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 23

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 23.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 23.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 23.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 23.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 24

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{y - 1} d y$

Paso 25

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y - 1} d y$

Paso 26

Sea $u_{2} = y - 1$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 26.1

Deja $u_{2} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 26.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 26.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 26.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 26.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 26.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 26.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 27

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C - (\ln (| y |) + C) - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 28

Simplifica.

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 29

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 29.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 29.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y - 1$ .

$y - \ln (| y |) + \frac{1}{y - 1} + 3 \ln (| y - 1 |) + C$