Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[4, 9]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[4, 9]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $9$ y en $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.5

Multiplica $2$ por $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.6

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 8.2.2.6.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.6.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Paso 8.2.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.9.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Paso 8.2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Paso 8.2.2.11

Multiplica $2$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Paso 8.2.2.12

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Paso 8.2.2.13

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Paso 8.2.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Paso 8.2.2.15

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.15.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Paso 8.2.2.15.2

Resta $16$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Paso 8.2.2.16

Combina $6$ y $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Paso 8.2.2.17

Multiplica $6$ por $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Paso 8.2.2.18

Cancela el factor común de $228$ y $3$ .

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Paso 8.2.2.18.1

Factoriza $3$ de $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Paso 8.2.2.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.18.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Paso 8.2.2.18.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.2.18.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Paso 8.2.2.18.2.4

Divide $76$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Paso 9

Resta $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Paso 10

Combina $\frac{1}{5}$ y $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Paso 11