Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 2 π]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = 5 \csc (x)$ .

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Paso 1.1

Establece el argumento en $\csc (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq π n}$ , para cualquier número entero $n$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq π n}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Paso 6

La integral de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Evalúa $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ en $2 π$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Paso 7.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.2.1

Reescribe $\csc (2 π)$ en términos de senos y cosenos.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Reescribe $\csc (0)$ en términos de senos y cosenos.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.4

Cancela el factor común de $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

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Paso 7.3.4.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Paso 7.3.4.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Paso 7.3.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Paso 7.3.6

Multiplica $5$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Paso 8.2

Suma $2 π$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{2 π}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Paso 10