Cálculo Ejemplos

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 5]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Paso 7

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Paso 8

Sea $u = - 0.04 x$ . Entonces $d u = - 0.04 d x$ , de modo que $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - 0.04 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Paso 8.1.2

Como $- 0.04$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.04 x$ con respecto a $x$ es $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 0.04$ por $1$ .

$- 0.04$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Paso 8.3

Multiplica $- 0.04$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Paso 8.5

Multiplica $- 0.04$ por $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Paso 9.2

Combina ${2.71828182}^{u}$ y $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Paso 11

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{0.04}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.04}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{0.04}$ y $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Paso 13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Paso 14

La integral de ${2.71828182}^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Combina $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ y $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Paso 15.2

Mueve $8$ a la izquierda de $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Paso 16

Sustituye y simplifica.

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Paso 16.1

Evalúa $29 x$ en $5$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Paso 16.2

Evalúa $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ en $- 0.2$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3

Simplifica.

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Paso 16.3.1

Multiplica $29$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.2

Multiplica $- 29$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.3

Suma $145$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.6

Reescribe $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ como un producto.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.7

Multiplica $\frac{1}{1.22140275}$ por $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.8

Multiplica $1.22140275$ por $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 16.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1.1

Divide $1$ por $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.2

Para escribir $0.81873075$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1.4.1

Multiplica $0.81873075$ por $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.4.2

Resta $1$ de $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Paso 17.1.1.7

El logaritmo en base $2.71828182$ de $2.71828182$ es aproximadamente $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Paso 17.1.1.8

Divide $0.18126924$ por $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Paso 17.1.1.9

Multiplica $- 1$ por $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Paso 17.1.2

Multiplica $8$ por $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Paso 17.1.3

Divide $- 1.45015397$ por $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Paso 17.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Paso 17.2

Suma $145$ y $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Paso 18

Simplifica el denominador.

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Paso 18.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Paso 18.2

Suma $5$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Paso 19

Combina fracciones.

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Paso 19.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Paso 19.2

Divide $181.25384939$ por $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Paso 20