Cálculo Ejemplos

$f (x) = - t^{2} + 2 t + 31$ , $[0, 10]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 10]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} - t^{2} + 2 t + 31 d x)$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} ((- t^{2} + 2 t + 31) x]_{0}^{10})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $(- t^{2} + 2 t + 31) x$ en $10$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (((- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 10) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Mueve $10$ a la izquierda de $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 \cdot (- t^{2} + 2 t + 31) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Paso 6.2.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Paso 6.2.3

Multiplica $0$ por $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0)$

Paso 6.2.4

Suma $10 (- t^{2} + 2 t + 31)$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2}) + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 10 \cdot 31)$

Paso 7.2.3

Multiplica $10$ por $31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Paso 8.2

Suma $10$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2}) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $10$ de $- 10 t^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.1.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $10$ de $20 t$ .

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot 310$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $10$ de $310$ .

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 (31))$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 31)$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + 31$

Paso 11