Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[2, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{8}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[2, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

Paso 5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $4$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

Paso 8.2.3

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 8.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

Paso 8.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

Paso 8.2.6

Suma $- 1$ y $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

Paso 8.2.7

Combina $8$ y $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

Paso 8.2.8

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 8.2.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

Paso 8.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

Paso 8.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

Paso 8.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

Paso 8.2.8.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

Paso 9

Resta $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1$

Paso 11