Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[1, 3]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 3]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

Paso 7

Multiplica $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Paso 8.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

Paso 8.2

Simplifica $x^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

Paso 8.3

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combina $x]_{1}^{3}$ y $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Paso 12.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.2.1

Evalúa $x - x^{- 1}$ en $3$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2

Simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.5.2

Resta $1$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Paso 12.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

Paso 12.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

Paso 12.2.2.8

Resta $1$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

Paso 12.2.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

Paso 12.2.2.10

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

Paso 12.2.2.11

Combina $4$ y $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

Paso 12.2.2.12

Multiplica $4$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

Paso 13

Resta $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{16}{3}$

Paso 15