Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7$ , $(0, 4)$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7 d x)$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 9

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $4$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Paso 13.3

Evalúa $- 7 x$ en $4$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $256$ y $4$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.2.2.4

Divide $64$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.4

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 13.4.4.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 + 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.6

Suma $64$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \cdot 64 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.7

Multiplica $2$ por $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.8

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.10

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 13.4.10.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} + 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.12

Suma $\frac{64}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.13

Combina $12$ y $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{12 \cdot 64}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.14

Multiplica $12$ por $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{768}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.15

Cancela el factor común de $768$ y $3$ .

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Paso 13.4.15.1

Factoriza $3$ de $768$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 (1)} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.15.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.15.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{256}{1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.15.2.4

Divide $256$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 256 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.16

Suma $128$ y $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.17

Multiplica $- 7$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 7 \cdot 0)$

Paso 13.4.18

Multiplica $7$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 0)$

Paso 13.4.19

Suma $- 28$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28)$

Paso 13.4.20

Resta $28$ de $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (356)$

Paso 14

Simplifica el denominador.

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Paso 14.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 356$

Paso 14.2

Suma $4$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 356$

Paso 15

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 15.1

Factoriza $4$ de $356$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (89))$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 89)$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 89$

Paso 16