Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{15 x}{x^{2} + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 1.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{15 x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 5

Dado que $15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{- 2}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 6

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 6.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{2} + 1$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Paso 6.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 6.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 \int_{5}^{5} \frac{1}{2 u} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (15 (\frac{1}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u))$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \int_{5}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot \ln (| u |)]_{5}^{5})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\ln (| u |)$ en $5$ y en $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 5 |)))$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Resta $\ln (| 5 |)$ de $\ln (| 5 |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{15}{2} \cdot 0)$

Paso 11.2.2

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (0)$

Paso 12

Suma $2$ y $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 13

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Paso 14