Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 9]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{10}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 9]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Paso 5

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 6

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 6.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Paso 6.5

Suma $9$ y $1$ .

$u_{upper} = 10$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Paso 8

Evalúa $\ln (| u |)$ en $10$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $10$ es $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Paso 10.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Paso 10.3

Divide $10$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Paso 11.2

Suma $9$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Paso 12

Simplifica $10 \ln (10)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Paso 13

Eleva $10$ a la potencia de $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Paso 14

Simplifica $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ al mover $\frac{1}{9}$ dentro del algoritmo.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Paso 15