Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[2, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Paso 1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[2, 4]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 5

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Paso 5.3

Resta $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Paso 5.5

Resta $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Paso 7

Evalúa $\ln (| u |)$ en $3$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Paso 9.3

Divide $3$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Paso 10

Resta $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Paso 11

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (3)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Paso 12