Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[4, 6]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[4, 6]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[4, 6]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\int_{4}^{6} \frac{1}{x} d x)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| x |)]_{4}^{6})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $6$ y en $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |))$

Paso 6.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}))$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $6$ es $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{| 4 |}))$

Paso 6.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{4}))$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 (3)}{4}))$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{3}{2}))$

Paso 7

Resta $4$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{3}{2})$

Paso 8

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$A (x) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 9

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \ln (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Paso 10