Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 3]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{1 + x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$1 + x \geq 0$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

Paso 1.3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Simplifica.

$1 + x = 0^{2}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 1.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Notación de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 3]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Paso 5

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 5.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Paso 5.5

Suma $1$ y $3$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Paso 6.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Paso 6.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.4

Evalúa el exponente.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Paso 8.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Paso 8.2.8

Resta $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Paso 9.2

Suma $3$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Paso 10

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Paso 11