Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 5]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 5]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Paso 5

Sea $u = x - 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Paso 5.3

Resta $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Paso 5.5

Resta $6$ de $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- u^{- 1}$ en $- 1$ y en $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Paso 8.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Paso 8.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Paso 8.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Paso 8.2.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Paso 8.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Paso 8.2.9

Resta $1$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Paso 9.2

Suma $5$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Paso 10

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Paso 11