Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 2$ .

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Combina fracciones.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Combina $4$ y $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.1.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Resta $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2} + 16 x$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2

Factoriza $4 x$ de $16 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (4)$ .

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$4 x (x + 4) = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ en $x = 0$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $(0) + 2$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 {(0)}^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

Paso 3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

Paso 3.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Paso 3.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Paso 3.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Paso 3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ en $x = - 4$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $(- 4) + 2$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 {(- 4)}^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

Paso 4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

Paso 4.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Paso 4.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Paso 4.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

Paso 4.2.2.4

Divide $32$ por $- 1$ .

$f (- 4) = - 32$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ son $y = 0, y = - 32$ .

$y = 0, y = - 32$

Paso 6