Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Niega el exponente de $e^{5 x}$ y quítalo del denominador.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $e^{- 5 x}$ por $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 4

Sea $u = - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 4.1.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 5.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 9.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

Paso 12

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$