Cálculo Ejemplos

$\int x - 2 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Paso 8

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Deja $u_{2} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 9.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 10.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + 1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$