Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 1.3.9

Combina $- 6$ y $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Paso 1.3.10

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 1.4

Combina $\frac{9}{5}$ y $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{9}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.9

Multiplica $\frac{9}{5}$ por $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.10

Multiplica $4$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.11

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{24}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{24}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ como ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $5$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ y $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{4}{5}}$ por $x^{- \frac{2}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.3

Resta $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Paso 2.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{6}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + 1 (\frac{24}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{24}{5}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{24}{5}$ por $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Paso 2.3.18

Multiplica $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 4.1.3.9

Combina $- 6$ y $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Paso 4.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.1.4

Combina $\frac{9}{5}$ y $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Paso 5.2.2

Como $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $5, 5, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{\frac{1}{5}}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

Como $5$ no tiene factores además de $1$ y $5$ .

$5$ es un número primo

Paso 5.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.6

El MCM de $5, 5, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$5$

Paso 5.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{5}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.2.8

El MCM para $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ es la parte numérica $5$ multiplicada por la parte variable.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{1}{5}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ por $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$9 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{4}{5}}$ por $x^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 x^{\frac{1 + 4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$9 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.3.5

Divide $5$ por $5$ .

$9 x^{1} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.4

Simplifica $9 x^{1}$ .

$9 x - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.5

Cancela el factor común de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 5.3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ al numerador.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$9 x - 24 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$9 x - 24 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x - 24 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 24$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $9 x = 24$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $9 x = 24$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{9}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común de $24$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{9}$

Paso 5.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Paso 5.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Paso 5.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{8}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$3125 x = 0^{5}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3125 x = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $3125 x = 0$ por $3125$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $3125 x = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3125$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $3125$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{8}{3}, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{8}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{36}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36}{25 \frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.1.2

Combina $25$ y $\frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$36 \frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.1.4

Combina $36$ y $\frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 \frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Paso 9.1.6

Combina $25$ y $\frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + 24 \frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.1.8

Combina $24$ y $\frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.2

Para escribir $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $8^{\frac{1}{5}}$ por $8^{\frac{5}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.2.1

Mueve $8^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (8^{\frac{5}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}})} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5 + 1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.3.2.4

Suma $5$ y $1$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{1} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Evalúa el exponente.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8 + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 9.5.2

Multiplica $8$ por $36$ .

$\frac{288 \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Paso 10

$x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{8}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{8}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{9}{5}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 \frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Paso 11.2.1.3

Combina $- 6$ y $\frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} + \frac{- 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Paso 11.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Paso 11.2.2

Para escribir $- \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3^{\frac{9}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ por $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $3^{\frac{4}{5}}$ por $3^{\frac{5}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}$

Paso 11.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4 + 5}{5}}}$

Paso 11.2.3.2.3

Suma $4$ y $5$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 11.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 11.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 11.2.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 11.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 11.2.5

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $\frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$ .

$y = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{36}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{36}{25 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{1}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.3

Evalúa el exponente.

$\frac{36}{25 \cdot 0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.4

Multiplica $25$ por $0$ .

$\frac{36}{0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Paso 13.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.2.2

La respuesta final es $\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \frac{8}{3})$ en la primera derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{9 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{9 \cdot 1}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.3.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 \cdot 1}$

Paso 14.3.2.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5}$

Paso 14.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 14.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (1) = \frac{9 - 24}{5}$

Paso 14.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.2.2.1

Resta $24$ de $9$ .

$f' (1) = \frac{- 15}{5}$

Paso 14.3.2.2.2.2

Divide $- 15$ por $5$ .

$f' (1) = - 3$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(\frac{8}{3}, \infty)$ en la primera derivada $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \frac{9 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Mueve ${(5)}^{\frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $5$ por $5^{- \frac{4}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.4.2.1.2.1

Multiplica $5$ por $5^{- \frac{4}{5}}$ .

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Paso 14.4.2.1.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (5) = \frac{9}{5^{1 - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5 - 4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.2.4

Resta $4$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.3

Multiplica $5$ por ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.4.2.1.3.1

Multiplica $5$ por ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 14.4.2.1.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{1 + \frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Paso 14.4.2.1.3.4

Suma $5$ y $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.2

Para escribir $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $5^{\frac{6}{5}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.4.2.3.1

Multiplica $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ por $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2

Multiplica $5^{\frac{1}{5}}$ por $5^{\frac{5}{5}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.4.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5} + \frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1 + 5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.3.2.3

Suma $1$ y $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}} - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.4.2.5.1

Divide $5$ por $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.5.2

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.5.3

Multiplica $9$ por $5$ .

$f' (5) = \frac{45 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.5.4

Resta $24$ de $45$ .

$f' (5) = \frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.4.2.6

La respuesta final es $\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Paso 14.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{8}{3}$ , $x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local.

$x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local

Paso 14.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{8}{3}$ es un mínimo local

Paso 15