Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 6 - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Paso 1.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Paso 1.4.1.2

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Paso 1.4.1.3

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.3

Reescribe ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.4

Expande $(6 - x) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.5.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.7

Simplifica.

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Paso 1.4.7.1

Mueve $36$ a la izquierda de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.7.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.7.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.7.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.7.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.8.1

Mueve $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 1.4.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Paso 1.4.9.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Paso 1.4.9.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Paso 1.4.10

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Paso 1.4.11

Expande $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.12.2.1

Mueve $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.3

Multiplica $36$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.4

Multiplica $12$ por $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.7

Multiplica $- 12$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.8

Multiplica $12$ por $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.10

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.12.10.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.10.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.10.3

Suma $1$ y $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Paso 1.4.12.11

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 1.4.13

Resta $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 1.4.14

Suma $60 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}] + \frac{d}{d x} [432 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 324 x^{2}) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 324$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 324 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 324 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 (2 x) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 324$ .

$f'' (x) = - 648 x + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [432 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $432$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $432 x$ con respecto a $x$ es $432 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.3.3

Multiplica $432$ por $1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x^{3}$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 (3 x^{2})$

Paso 2.5.3

Multiplica $3$ por $72$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 216 x^{2}$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 216 x^{2} - 648 x + 432$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 6 - x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Paso 4.1.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

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Paso 4.1.4.1.1

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Paso 4.1.4.1.2

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.1.3

Factoriza $x {(6 - x)}^{2}$ de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.3

Reescribe ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.4

Expande $(6 - x) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.5.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.5.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.7

Simplifica.

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Paso 4.1.4.7.1

Mueve $36$ a la izquierda de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.7.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.7.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.7.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.7.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.8.1

Mueve $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Paso 4.1.4.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Paso 4.1.4.9.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Paso 4.1.4.9.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Paso 4.1.4.10

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Paso 4.1.4.11

Expande $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.12.2.1

Mueve $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.3

Multiplica $36$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.4

Multiplica $12$ por $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.7

Multiplica $- 12$ por $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.8

Multiplica $12$ por $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.10

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.12.10.1

Mueve $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.10.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 4.1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.10.3

Suma $1$ y $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Paso 4.1.4.12.11

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 4.1.4.13

Resta $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Paso 4.1.4.14

Suma $60 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$f' (x) = - 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $x$ de $- 324 x^{2}$ .

$x (- 324 x) + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $x$ de $432 x$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $x$ de $- 5 x^{4}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + 72 x^{3} = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $x$ de $72 x^{3}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (- 324 x) + x \cdot 432$ .

$x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $x$ de $x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Paso 5.2.1.7

Factoriza $x$ de $x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3} + 72 x^{2}) = 0$

Paso 5.2.2

Reordena los términos.

$x (- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.2.3.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 5.2.3.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 432, \pm 86.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 216, \pm 43.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 144, \pm 28.8, \pm 4, \pm 0.8, \pm 108, \pm 21.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 72, \pm 14.4, \pm 8, \pm 1.6, \pm 54, \pm 10.8, \pm 9, \pm 1.8, \pm 48, \pm 9.6, \pm 12, \pm 2.4, \pm 36, \pm 7.2, \pm 16, \pm 3.2, \pm 27, \pm 5.4, \pm 18, \pm 3.6, \pm 24, \pm 4.8$

Paso 5.2.3.1.3

Sustituye $6$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $6$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.2.3.1.3.1

Sustituye $6$ en el polinomio.

$- 5 \cdot 6^{3} + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$- 5 \cdot 216 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $216$ .

$- 1080 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$- 1080 + 72 \cdot 36 - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.5

Multiplica $72$ por $36$ .

$- 1080 + 2592 - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.6

Suma $- 1080$ y $2592$ .

$1512 - 324 \cdot 6 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.7

Multiplica $- 324$ por $6$ .

$1512 - 1944 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.8

Resta $1944$ de $1512$ .

$- 432 + 432$

Paso 5.2.3.1.3.9

Suma $- 432$ y $432$ .

$0$

Paso 5.2.3.1.4

Como $6$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 6$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432}{x - 6}$

Paso 5.2.3.1.5

Divide $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ por $x - 6$ .

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Paso 5.2.3.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$6$

$5 x^{3}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$432$

Paso 5.2.3.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$

Paso 5.2.3.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			-	$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$

Paso 5.2.3.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{3} + 30 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$

Paso 5.2.3.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$

Paso 5.2.3.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Paso 5.2.3.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $42 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Paso 5.2.3.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$252 x$

Paso 5.2.3.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $42 x^{2} - 252 x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$

Paso 5.2.3.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$

Paso 5.2.3.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Paso 5.2.3.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 72 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Paso 5.2.3.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							-	$72 x$	+	$432$

Paso 5.2.3.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 72 x + 432$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$

Paso 5.2.3.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$
										$0$

Paso 5.2.3.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 5 x^{2} + 42 x - 72$

Paso 5.2.3.1.6

Escribe $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ como un conjunto de factores.

$x ((x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72)) = 0$

Paso 5.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72) = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot - 72 = 360$ y cuya suma es $b = 42$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1.1.1

Factoriza $42$ de $42 x$ .

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 (x) - 72) = 0$

Paso 5.2.4.1.1.2

Reescribe $42$ como $12$ más $30$

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + (12 + 30) x - 72) = 0$

Paso 5.2.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 12 x + 30 x - 72) = 0$

Paso 5.2.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (x - 6) ((- 5 x^{2} + 12 x) + 30 x - 72) = 0$

Paso 5.2.4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x - 6) (x (- 5 x + 12) - 6 (- 5 x + 12)) = 0$

Paso 5.2.4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 x + 12$ .

$x (x - 6) ((- 5 x + 12) (x - 6)) = 0$

Paso 5.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 6) (- 5 x + 12) (x - 6) = 0$

Paso 5.2.5

Combina exponentes.

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Paso 5.2.5.1

Eleva $x - 6$ a la potencia de $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Paso 5.2.5.2

Eleva $x - 6$ a la potencia de $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Paso 5.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x {(x - 6)}^{1 + 1} (- 5 x + 12) = 0$

Paso 5.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$- 5 x + 12 = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece ${(x - 6)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece ${(x - 6)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve ${(x - 6)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 5.5.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5.6

Establece $- 5 x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $- 5 x + 12$ igual a $0$ .

$- 5 x + 12 = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve $- 5 x + 12 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x = - 12$

Paso 5.6.2.2

Divide cada término en $- 5 x = - 12$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.2.1

Divide cada término en $- 5 x = - 12$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Paso 5.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 5.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Paso 5.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 5}$

Paso 5.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{12}{5}$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(0)}^{3} + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 20$ por $0$ .

$0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Paso 9.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 216 \cdot 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Paso 9.1.4

Multiplica $216$ por $0$ .

$0 + 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 648$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 432$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + 432$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 432$

Paso 9.2.3

Suma $0$ y $432$ .

$432$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} {(6 - (0))}^{3}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 {(6 - (0))}^{3}$

Paso 11.2.2

Resta $0$ de $6$ .

$f (0) = 0 \cdot 6^{3}$

Paso 11.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 216$

Paso 11.2.4

Multiplica $0$ por $216$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 6$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(6)}^{3} + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$- 20 \cdot 216 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Paso 13.1.2

Multiplica $- 20$ por $216$ .

$- 4320 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Paso 13.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$- 4320 + 216 \cdot 36 - 648 \cdot 6 + 432$

Paso 13.1.4

Multiplica $216$ por $36$ .

$- 4320 + 7776 - 648 \cdot 6 + 432$

Paso 13.1.5

Multiplica $- 648$ por $6$ .

$- 4320 + 7776 - 3888 + 432$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 13.2.1

Suma $- 4320$ y $7776$ .

$3456 - 3888 + 432$

Paso 13.2.2

Resta $3888$ de $3456$ .

$- 432 + 432$

Paso 13.2.3

Suma $- 432$ y $432$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{5}) \cup (\frac{12}{5}, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 324 {(- 2)}^{2} + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 324 \cdot 4 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2.1.2

Multiplica $- 324$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2.1.3

Multiplica $432$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 \cdot 16 + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $16$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 {(- 2)}^{3}$

Paso 14.2.2.1.6

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 \cdot - 8$

Paso 14.2.2.1.7

Multiplica $72$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 - 576$

Paso 14.2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 14.2.2.2.1

Resta $864$ de $- 1296$ .

$f' (- 2) = - 2160 - 80 - 576$

Paso 14.2.2.2.2

Resta $80$ de $- 2160$ .

$f' (- 2) = - 2240 - 576$

Paso 14.2.2.2.3

Resta $576$ de $- 2240$ .

$f' (- 2) = - 2816$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $- 2816$ .

$- 2816$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \frac{12}{5})$ en la primera derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 324 {(1)}^{2} + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 324 \cdot 1 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $- 324$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2.1.3

Multiplica $432$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 \cdot 1 + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 {(1)}^{3}$

Paso 14.3.2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 \cdot 1$

Paso 14.3.2.1.7

Multiplica $72$ por $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72$

Paso 14.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.3.2.2.1

Suma $- 324$ y $432$ .

$f' (1) = 108 - 5 + 72$

Paso 14.3.2.2.2

Resta $5$ de $108$ .

$f' (1) = 103 + 72$

Paso 14.3.2.2.3

Suma $103$ y $72$ .

$f' (1) = 175$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $175$ .

$175$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(\frac{12}{5}, 6)$ en la primera derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 324 {(4)}^{2} + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = - 324 \cdot 16 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $- 324$ por $16$ .

$f' (4) = - 5184 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2.1.3

Multiplica $432$ por $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 \cdot 256 + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $256$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 {(4)}^{3}$

Paso 14.4.2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 \cdot 64$

Paso 14.4.2.1.7

Multiplica $72$ por $64$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 4608$

Paso 14.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.4.2.2.1

Suma $- 5184$ y $1728$ .

$f' (4) = - 3456 - 1280 + 4608$

Paso 14.4.2.2.2

Resta $1280$ de $- 3456$ .

$f' (4) = - 4736 + 4608$

Paso 14.4.2.2.3

Suma $- 4736$ y $4608$ .

$f' (4) = - 128$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $- 128$ .

$- 128$

Paso 14.5

Sustituye cualquier número, como $8$ , del intervalo $(6, \infty)$ en la primera derivada $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = - 324 {(8)}^{2} + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = - 324 \cdot 64 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2.1.2

Multiplica $- 324$ por $64$ .

$f' (8) = - 20736 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2.1.3

Multiplica $432$ por $8$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2.1.4

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2.1.5

Multiplica $- 5$ por $4096$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 {(8)}^{3}$

Paso 14.5.2.1.6

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 \cdot 512$

Paso 14.5.2.1.7

Multiplica $72$ por $512$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 36864$

Paso 14.5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.5.2.2.1

Suma $- 20736$ y $3456$ .

$f' (8) = - 17280 - 20480 + 36864$

Paso 14.5.2.2.2

Resta $20480$ de $- 17280$ .

$f' (8) = - 37760 + 36864$

Paso 14.5.2.2.3

Suma $- 37760$ y $36864$ .

$f' (8) = - 896$

Paso 14.5.2.3

La respuesta final es $- 896$ .

$- 896$

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 14.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{12}{5}$ , $x = \frac{12}{5}$ es un máximo local.

$x = \frac{12}{5}$ es un máximo local

Paso 14.8

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 6$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$ .

$x = 0$ es un mínimo local

$x = \frac{12}{5}$ es un máximo local

$x = 0$ es un mínimo local

$x = \frac{12}{5}$ es un máximo local

Paso 15