Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.3

Como $110$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $110$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $1014$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1014}{x}$ con respecto a $x$ es $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 1$ por $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Suma $2 x - 20$ y $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Combina $- 1014$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1014$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1014}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 1014$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Paso 2.4

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $2028$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $2 + \frac{2028}{x^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.3

Como $110$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $110$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $1014$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1014}{x}$ con respecto a $x$ es $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Paso 4.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.5.2.1

Suma $2 x - 20$ y $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.5.2.2

Combina $- 1014$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Paso 4.1.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Paso 4.1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1014}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Paso 5.4.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 1014$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

Paso 5.4.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 20 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Paso 5.4.1.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ .

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Paso 5.4.1.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

Paso 5.4.1.2

Reordena los términos.

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

Paso 5.4.1.3

Factoriza.

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Paso 5.4.1.3.1

Factoriza $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.4.1.3.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

Paso 5.4.1.3.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

Paso 5.4.1.3.1.3

Sustituye $13$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $13$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.4.1.3.1.3.1

Sustituye $13$ en el polinomio.

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Paso 5.4.1.3.1.3.2

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Paso 5.4.1.3.1.3.3

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

Paso 5.4.1.3.1.3.4

Multiplica $- 10$ por $169$ .

$2197 - 1690 - 507$

Paso 5.4.1.3.1.3.5

Resta $1690$ de $2197$ .

$507 - 507$

Paso 5.4.1.3.1.3.6

Resta $507$ de $507$ .

$0$

Paso 5.4.1.3.1.4

Como $13$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 13$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

Paso 5.4.1.3.1.5

Divide $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ por $x - 13$ .

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Paso 5.4.1.3.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

Paso 5.4.1.3.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 13 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

Paso 5.4.1.3.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Paso 5.4.1.3.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 5.4.1.3.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 5.4.1.3.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

Paso 5.4.1.3.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} - 39 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

Paso 5.4.1.3.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

Paso 5.4.1.3.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $39 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $39 x - 507$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

Paso 5.4.1.3.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

Paso 5.4.1.3.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 3 x + 39$

Paso 5.4.1.3.1.6

Escribe $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ como un conjunto de factores.

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

Paso 5.4.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

Paso 5.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Paso 5.4.3

Establece $x - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Establece $x - 13$ igual a $0$ .

$x - 13 = 0$

Paso 5.4.3.2

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 13$

Paso 5.4.4

Establece $x^{2} + 3 x + 39$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.4.1

Establece $x^{2} + 3 x + 39$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Paso 5.4.4.2

Resuelve $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.4.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 39$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3

Simplifica.

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Paso 5.4.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Paso 5.4.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.3

Resta $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.3.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.4.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Paso 5.4.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.3

Resta $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.4.4.2.4.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.4.4.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.4.4.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.4.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.4.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Paso 5.4.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.3

Resta $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.4.4.2.5.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.4.4.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.4.4.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ verdadera.

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1014}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 13$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 13$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2028}{2197} + 2$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $2028$ y $2197$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $169$ de $2028$ .

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

Paso 9.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.2.1

Factoriza $169$ de $2197$ .

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Paso 9.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Paso 9.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{13} + 2$

Paso 9.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

Paso 9.3

Combina $2$ y $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $2$ por $13$ .

$\frac{12 + 26}{13}$

Paso 9.5.2

Suma $12$ y $26$ .

$\frac{38}{13}$

Paso 10

$x = 13$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 13$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 13$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $13$ en la expresión.

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 20$ por $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

Paso 11.2.1.3

Divide $1014$ por $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.2.1

Resta $260$ de $169$ .

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

Paso 11.2.2.2

Suma $- 91$ y $110$ .

$f (13) = 19 + 78$

Paso 11.2.2.3

Suma $19$ y $78$ .

$f (13) = 97$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $97$ .

$y = 97$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ .

$(13, 97)$ es un mínimo local

Paso 13