Cálculo Ejemplos

$\sqrt{5 + y^{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 + y^{2}}$ como ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5 = 0$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 + y^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.11

Suma $0$ y $2 y y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.13

Combina $2$ y $\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.14

Combina $y$ y $\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.15

Combina $\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ y $y'$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.16

Mueve ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y \cdot 2 y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.17

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.18

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.2.19

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + 0$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Suma $\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{2}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Divide cada término en $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$