Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{k x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $e^{k x}$ por $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $k x e^{k x} + e^{k x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}] + \frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (k x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x e^{k x}$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x e^{k x}]$ .

$f'' (x) = k \frac{d}{d x} (x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{k x}$ .

$f'' (x) = k (x \frac{d}{d x} (e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $k x$ .

$f'' (x) = k (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.4

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $k$ por $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.2.8

Multiplica $e^{k x}$ por $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (k x)$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (k x)$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)$

Paso 2.3.2

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $k$ por $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} k$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k)) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Paso 2.4.2.2

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Paso 2.4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = k^{1 + 1} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Paso 2.4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Paso 2.4.2.5

Suma $k e^{k x}$ y $e^{k x} k$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Reordena $e^{k x}$ y $k$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + k e^{k x}$

Paso 2.4.2.5.2

Suma $k e^{k x}$ y $k e^{k x}$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + 2 k e^{k x}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$ .

$f'' (x) = k^{2} x e^{k x} + 2 k e^{k x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = k x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k x$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $e^{k x}$ por $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los términos.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los factores en $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$f' (x) = k x e^{k x} + e^{k x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $k x e^{k x} + e^{k x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $e^{k x}$ de $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{k x}$ de $k x e^{k x}$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} = 0$

Paso 5.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{k x}$ de $e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1$ .

$e^{k x} (k x + 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{k x} = 0$

$k x + 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{k x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{k x}$ igual a $0$ .

$e^{k x} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{k x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{k x}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Expande $\ln (e^{k x})$ ; para ello, mueve $k x$ fuera del logaritmo.

$k x \ln (e) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$k x \cdot 1 = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$k x = \ln (0)$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.4.2.4

Divide cada término en $k x = Undefined$ por $k$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.4.1

Divide cada término en $k x = Undefined$ por $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Paso 5.4.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.4.2.1

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 5.4.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Paso 5.4.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{Undefined}{k}$

Paso 5.5

Establece $k x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $k x + 1$ igual a $0$ .

$k x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $k x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$k x = - 1$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $k x = - 1$ por $k$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $k x = - 1$ por $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{k}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{k}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{k x} (k x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{k}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{1}{k}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{1}{k}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$k^{2} (- \frac{1}{k}) e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- k^{2} \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $k$ de $- k^{2}$ .

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.2.2

Cancela el factor común.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- k e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- k e^{- k \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $k$ de $- k$ .

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.4.2

Cancela el factor común.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- k e^{- 1} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- k \frac{1}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.6

Combina $\frac{1}{e}$ y $k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Paso 9.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- k \frac{1}{k}}$

Paso 9.1.8

Cancela el factor común de $k$ .

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Paso 9.1.8.1

Factoriza $k$ de $- k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Paso 9.1.8.2

Cancela el factor común.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Paso 9.1.8.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- 1}$

Paso 9.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k \frac{1}{e}$

Paso 9.1.10

Multiplica $2 k \frac{1}{e}$ .

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Paso 9.1.10.1

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + k \frac{2}{e}$

Paso 9.1.10.2

Combina $k$ y $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{k \cdot 2}{e}$

Paso 9.1.11

Mueve $2$ a la izquierda de $k$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{2 k}{e}$

Paso 9.2

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- k + 2 k}{e}$

Paso 9.2.2

Suma $- k$ y $2 k$ .

$\frac{k}{e}$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la primera derivada $k x e^{k x} + e^{k x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = k (0) \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Multiplica $k$ por $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $k$ por $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{k (0)}$

Paso 10.2.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{k (0)}$

Paso 10.2.2.1.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{k (0)}$

Paso 10.2.2.1.5

Multiplica $k$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Paso 10.2.2.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 10.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 10.3

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = x e^{k x}$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11