Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 1.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3 \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 3})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f'' (x) = 2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6