Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica ${(x - 5)}^{5}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.2.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

Paso 1.3.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

Paso 1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

Paso 1.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

Paso 1.3.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 {(x - 1)}^{5}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

Paso 1.3.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Paso 1.3.12

Multiplica $5$ por $5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

Paso 1.4

Factoriza $5$ de $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $5$ de $5 {(x - 5)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

Paso 1.4.2

Factoriza $5$ de $25 {(x - 1)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Paso 1.4.3

Factoriza $5$ de $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ .

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.3.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 {(x - 1)}^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Paso 2.5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

Paso 2.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Paso 2.5.5.2

Multiplica $20$ por $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Paso 2.6.3

Multiplica $20$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.6.4

Factoriza $20$ de $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 2.6.4.1

Factoriza $20$ de $20 {(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.6.4.2

Factoriza $20$ de $100 {(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

Paso 2.6.4.3

Factoriza $20$ de $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6