Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{x + y}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Paso 1.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x + y} + e^{x + y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + y$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + y$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.8

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.2.9

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

Paso 2.3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $e^{x + y}$ y $e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.4.2

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Paso 4.1.3.6

Multiplica $e^{x + y}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $e^{x + y}$ de $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{x + y}$ de $x e^{x + y}$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

Paso 5.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{x + y}$ de $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ .

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{x + y}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{x + y}$ igual a $0$ .

$e^{x + y} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{x + y} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Expande $\ln (e^{x + y})$ ; para ello, mueve $x + y$ fuera del logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2.3

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$x + y = \ln (0)$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.4.2.4

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = Undefined - y$

Paso 5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x + y} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Reescribe $- 1 e^{- 1 + y}$ como $- e^{- 1 + y}$ .

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

Paso 9.2

Suma $- e^{- 1 + y}$ y $2 e^{- 1 + y}$ .

$e^{- 1 + y}$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11