Cálculo Ejemplos

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $0.3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.3 x^{1.25}$ con respecto a $x$ es $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.2.3

Multiplica $1.25$ por $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.5 x$ con respecto a $x$ es $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1.5$ por $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $88.6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $88.6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $0.375 x^{0.25} - 1.5$ y $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.375 x^{0.25} - 1.5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $0.375$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.375 x^{0.25}$ con respecto a $x$ es $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2.3

Multiplica $0.25$ por $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.3

Como $- 1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $0.09375$ y $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $0.3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.3 x^{1.25}$ con respecto a $x$ es $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $1.25$ por $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.5 x$ con respecto a $x$ es $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1.5$ por $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $88.6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $88.6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $0.375 x^{0.25} - 1.5$ y $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Paso 5.2

Suma $1.5$ a ambos lados de la ecuación.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Paso 5.3

Divide cada término en $0.375 x^{0.25} = 1.5$ por $0.375$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $0.375 x^{0.25} = 1.5$ por $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $0.375$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{0.25}$ por $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $1.5$ por $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Paso 5.4

Convierte el exponente con decimales en un exponente fraccionario.

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Paso 5.4.1

Convierte el número decimal a fracción mediante la colocación del número decimal sobre una potencia de diez. Dado que hay $2$ números a la derecha de la coma decimal, coloca el número decimal sobre $10^{2}$ $(100)$ . Luego, agrega el número entero a la izquierda del decimal.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Paso 5.4.2

Reduce la fracción.

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Paso 5.4.2.1

Convierte $0 \frac{25}{100}$ en una fracción impropia.

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Paso 5.4.2.1.1

Un número mixto es una suma de sus partes entera y fraccionaria.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Paso 5.4.2.1.2

Suma $0$ y $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $25$ y $100$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Paso 5.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Paso 5.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Paso 5.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Paso 5.5

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{1}{0.25}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6

Simplifica el exponente.

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Paso 5.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Paso 5.6.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Paso 5.6.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.1.1.1.2

Cancela el factor común de $0.25$ .

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Paso 5.6.1.1.1.2.1

Factoriza $0.25$ de $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.1.1.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.1.1.2

Simplifica.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.1

Simplifica $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Divide $1$ por $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Paso 5.6.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$x = 256$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Cambia $0.25$ en una fracción.

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Paso 6.1.1.1

Multiplica por $\frac{100}{100}$ para eliminar el decimal.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $100$ por $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Paso 6.1.1.3

Cancela el factor común de $25$ y $100$ .

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Paso 6.1.1.3.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Paso 6.1.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Factoriza $25$ de $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Paso 6.1.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Paso 6.1.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Paso 6.2

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 256$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 256$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Eleva $256$ a la potencia de $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Paso 9.2

Divide $0.09375$ por $64$ .

$0.00146484$

Paso 10

$x = 256$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 256$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 256$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $256$ en la expresión.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $256$ a la potencia de $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $0.3$ por $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 1.5$ por $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.2.1

Resta $384$ de $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Paso 11.2.2.2

Suma $- 76.8$ y $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $11.8$ .

$y = 11.8$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ es un mínimo local

Paso 13