Cálculo Ejemplos

$f (x) = 0.25 (x + 4) (x + 1) (x - 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $0.25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.25 (x + 4) (x + 1) (x - 2)$ con respecto a $x$ es $0.25 \frac{d}{d x} [((x + 4) (x + 1)) (x - 2)]$ .

$0.25 \frac{d}{d x} [((x + 4) (x + 1)) (x - 2)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = (x + 4) (x + 1)$ y $g (x) = x - 2$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = x + 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 1.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])))$

Paso 1.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])))$

Paso 1.5.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)))$

Paso 1.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1))$

Paso 1.5.8.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + x + 1))$

Paso 1.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (2 x + 4 + 1))$

Paso 1.5.8.4

Suma $4$ y $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 ((x + 4) (x + 1)) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 ((x + 4) x + (x + 4) \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x + 4 x + (x + 4) \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x + 4 x + x \cdot 1 + 4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 5)$

Paso 1.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 5)$

Paso 1.6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 5 - 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.9

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10

Combina los términos.

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Paso 1.6.10.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 (x^{1} x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 (x^{1} x^{1}) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0.25 x^{1 + 1} + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$0.25 x^{2} + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.5

Multiplica $4$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1 x + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 0.25 \cdot 4 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.9

Multiplica $0.25$ por $4$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 1 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.10

Suma $x$ y $0.25 x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 (x^{1} x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 (x^{1} x^{1})) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 x^{1 + 1}) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.14

Suma $1$ y $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 x^{2}) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.15

Multiplica $2$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.16

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 (- 4 x) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.17

Multiplica $- 4$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.18

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 0.25 (5 \cdot x) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.19

Multiplica $5$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 1.6.10.20

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x + 0.25 \cdot - 10$

Paso 1.6.10.21

Multiplica $0.25$ por $- 10$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x - 2.5$

Paso 1.6.10.22

Suma $- x$ y $1.25 x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 x - 2.5$

Paso 1.6.10.23

Suma $0.25 x^{2}$ y $0.5 x^{2}$ .

$0.75 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 x - 2.5$

Paso 1.6.10.24

Suma $1.25 x$ y $0.25 x$ .

$0.75 x^{2} + 1.5 x + 1 - 2.5$

Paso 1.6.10.25

Resta $2.5$ de $1$ .

$0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [0.75 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1.5 x] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.75 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1.5 x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.75 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $0.75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.75 x^{2}$ con respecto a $x$ es $0.75 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0.75 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1.5 x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 0.75 (2 x) + \frac{d}{d x} (1.5 x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $0.75$ .

$f'' (x) = 1.5 x + \frac{d}{d x} (1.5 x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [1.5 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1.5 x$ con respecto a $x$ es $1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 1.5 x + 1.5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 1.5 x + 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.3.3

Multiplica $1.5$ por $1$ .

$f'' (x) = 1.5 x + 1.5 + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 1.5 x + 1.5 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $1.5 x + 1.5$ y $0$ .

$f'' (x) = 1.5 x + 1.5$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $0.25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.25 (x + 4) (x + 1) (x - 2)$ con respecto a $x$ es $0.25 \frac{d}{d x} [((x + 4) (x + 1)) (x - 2)]$ .

$0.25 \frac{d}{d x} [((x + 4) (x + 1)) (x - 2)]$

Paso 4.1.2

$0.25 ((x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.3.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)])$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = x + 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5

Diferencia.

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Paso 4.1.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]))$

Paso 4.1.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])))$

Paso 4.1.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])))$

Paso 4.1.5.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)))$

Paso 4.1.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1))$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (x + 4 + x + 1))$

Paso 4.1.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (2 x + 4 + 1))$

Paso 4.1.5.8.4

Suma $4$ y $1$ .

$0.25 ((x + 4) (x + 1) + (x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 ((x + 4) (x + 1)) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 ((x + 4) x + (x + 4) \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x + 4 x + (x + 4) \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x + 4 x + x \cdot 1 + 4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x + 5))$

Paso 4.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 5)$

Paso 4.1.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 5)$

Paso 4.1.6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 5 - 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.9

Aplica la propiedad distributiva.

$0.25 (x \cdot x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.10.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 (x^{1} x) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 (x^{1} x^{1}) + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0.25 x^{1 + 1} + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$0.25 x^{2} + 0.25 (4 x) + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.5

Multiplica $4$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1 x + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 (x \cdot 1) + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 0.25 (4 \cdot 1) + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 0.25 \cdot 4 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.9

Multiplica $0.25$ por $4$ .

$0.25 x^{2} + x + 0.25 x + 1 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.10

Suma $x$ y $0.25 x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (x (2 x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 (x^{1} x)) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 (x^{1} x^{1})) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 x^{1 + 1}) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.14

Suma $1$ y $1$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 (2 x^{2}) + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.15

Multiplica $2$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 (- 2 (2 x)) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.16

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 (- 4 x) + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.17

Multiplica $- 4$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 0.25 (x \cdot 5) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.18

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 0.25 (5 \cdot x) + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.19

Multiplica $5$ por $0.25$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x + 0.25 (- 2 \cdot 5)$

Paso 4.1.6.10.20

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x + 0.25 \cdot - 10$

Paso 4.1.6.10.21

Multiplica $0.25$ por $- 10$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} - x + 1.25 x - 2.5$

Paso 4.1.6.10.22

Suma $- x$ y $1.25 x$ .

$0.25 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.5 x^{2} + 0.25 x - 2.5$

Paso 4.1.6.10.23

Suma $0.25 x^{2}$ y $0.5 x^{2}$ .

$0.75 x^{2} + 1.25 x + 1 + 0.25 x - 2.5$

Paso 4.1.6.10.24

Suma $1.25 x$ y $0.25 x$ .

$0.75 x^{2} + 1.5 x + 1 - 2.5$

Paso 4.1.6.10.25

Resta $2.5$ de $1$ .

$f' (x) = 0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$ .

$0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5 = 0$

Paso 5.2

Factoriza $0.75$ de $0.75 x^{2} + 1.5 x - 1.5$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $0.75$ de $0.75 x^{2}$ .

$0.75 (x^{2}) + 1.5 x - 1.5 = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $0.75$ de $1.5 x$ .

$0.75 (x^{2}) + 0.75 (2 x) - 1.5 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $0.75$ de $- 1.5$ .

$0.75 x^{2} + 0.75 (2 x) + 0.75 \cdot - 2 = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza $0.75$ de $0.75 x^{2} + 0.75 (2 x)$ .

$0.75 (x^{2} + 2 x) + 0.75 \cdot - 2 = 0$

Paso 5.2.5

Factoriza $0.75$ de $0.75 (x^{2} + 2 x) + 0.75 \cdot - 2$ .

$0.75 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $0.75 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ por $0.75$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $0.75 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ por $0.75$ .

$\frac{0.75 (x^{2} + 2 x - 2)}{0.75} = \frac{0}{0.75}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $0.75$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.75 (x^{2} + 2 x - 2)}{0.75} = \frac{0}{0.75}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2} + 2 x - 2$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{0.75}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $0.75$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Paso 5.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 5.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 5.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 5.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.7.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 5.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{3}$

Paso 5.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 5.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.8.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.8.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Paso 5.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{3}$

Paso 5.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1 + \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$1.5 (- 1 + \sqrt{3}) + 1.5$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $1.5$ por $- 1 + \sqrt{3}$ .

$1.09807621 + 1.5$

Paso 9.2

Suma $1.09807621$ y $1.5$ .

$2.59807621$

Paso 10

$x = - 1 + \sqrt{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1 + \sqrt{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1 + \sqrt{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1 + \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0.25 ((- 1 + \sqrt{3}) + 4) ((- 1 + \sqrt{3}) + 1) ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0.25 (3 + \sqrt{3}) ((- 1 + \sqrt{3}) + 1) ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2.2

Multiplica $0.25$ por $3 + \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 1.1830127 ((- 1 + \sqrt{3}) + 1) ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 11.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 1.1830127 (0 + \sqrt{3}) ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2.3.2

Suma $0$ y $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 1.1830127 \sqrt{3} ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2.4

Multiplica $1.1830127$ por $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 2.0490381 ((- 1 + \sqrt{3}) - 2)$

Paso 11.2.5

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 2.0490381 (- 3 + \sqrt{3})$

Paso 11.2.6

Multiplica $2.0490381$ por $- 3 + \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 2.59807621$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $- 2.59807621$ .

$y = - 2.59807621$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1 - \sqrt{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$1.5 (- 1 - \sqrt{3}) + 1.5$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $1.5$ por $- 1 - \sqrt{3}$ .

$- 4.09807621 + 1.5$

Paso 13.2

Suma $- 4.09807621$ y $1.5$ .

$- 2.59807621$

Paso 14

$x = - 1 - \sqrt{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1 - \sqrt{3}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 1 - \sqrt{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1 - \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0.25 ((- 1 - \sqrt{3}) + 4) ((- 1 - \sqrt{3}) + 1) ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0.25 (3 - \sqrt{3}) ((- 1 - \sqrt{3}) + 1) ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.2

Multiplica $0.25$ por $3 - \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0.31698729 ((- 1 - \sqrt{3}) + 1) ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 15.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0.31698729 (0 - \sqrt{3}) ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.3.2

Resta $\sqrt{3}$ de $0$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0.31698729 (- \sqrt{3}) ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.4

Multiplica $0.31698729 (- \sqrt{3})$ .

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Paso 15.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $0.31698729$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 0.31698729 \sqrt{3} ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.4.2

Multiplica $- 0.31698729$ por $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 0.5490381 ((- 1 - \sqrt{3}) - 2)$

Paso 15.2.5

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 0.5490381 (- 3 - \sqrt{3})$

Paso 15.2.6

Multiplica $- 0.5490381$ por $- 3 - \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 2.59807621$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $2.59807621$ .

$y = 2.59807621$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 0.25 (x + 4) (x + 1) (x - 2)$ .

$(- 1 + \sqrt{3}, - 2.59807621)$ es un mínimo local

$(- 1 - \sqrt{3}, 2.59807621)$ es un máximo local

Paso 17