Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x^{2} + 24$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 24$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$\frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.9

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x + 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $x - 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + 0)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \cdot 1) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.8.2

Multiplica $x + 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + x + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x - 4 + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5.8.4

Suma $- 4$ y $6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 24$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 (x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7.2

Factoriza $x^{2} + 24$ de ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $x^{2} + 24$ de ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x^{2} + 24$ de $- 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $x^{2} + 24$ de $(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 24]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Factoriza $x^{2} + 24$ de ${(x^{2} + 24)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{(x^{2} + 24) {(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.11

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.12.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.13

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.14

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.1

Multiplica $\frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + 0$

Paso 2.14.2

Suma $- \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.1

Expande $(x^{2} + 24) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 2) + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.4

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.2.5

Multiplica $24$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x + 16) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.4

Expande $(- 4 x + 16) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x (x + 6) + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.5.1.2

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.5.1.3

Multiplica $16$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.5.2

Suma $- 24 x$ y $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 8 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.2

Resta $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.3

Resta $8 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 48 x + 48 + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.2.4

Suma $48 x$ y $96 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.15.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.2

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.3

Factoriza $2$ de $144 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.4

Factoriza $2$ de $48$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.6

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.3.7

Factoriza $2$ de $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.7

Factoriza $- 1$ de $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.9

Reescribe $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 \cdot - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.10

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.11

Reescribe $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ como $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 2.15.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}})$

Paso 2.15.14

Multiplica $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 24$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 24$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f' (x) = \frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.9

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.3.3

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 5.3.3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 6$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4, - 6$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 ({(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{({(4)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 72$ por $4$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.5

Suma $64$ y $48$ .

$\frac{2 (112 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.6

Resta $288$ de $112$ .

$\frac{2 (- 176 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.1.7

Resta $24$ de $- 176$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(16 + 24)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Suma $16$ y $24$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{40^{3}}$

Paso 9.2.3

Eleva $40$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{64000}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Multiplica $2$ por $- 200$ .

$\frac{- 400}{64000}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 400$ y $64000$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $400$ de $- 400$ .

$\frac{400 (- 1)}{64000}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $400$ de $64000$ .

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{160}$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{160}$

Paso 10

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{(4) + 1}{{(4)}^{2} + 24}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Suma $4$ y $1$ .

$f (4) = \frac{5}{4^{2} + 24}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 + 24}$

Paso 11.2.2.2

Suma $16$ y $24$ .

$f (4) = \frac{5}{40}$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $5$ y $40$ .

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Paso 11.2.3.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (4) = \frac{5 (1)}{40}$

Paso 11.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $40$ .

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Paso 11.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 6$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 ({(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 \cdot 36 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $3$ por $36$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 72$ por $- 6$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.5

Suma $- 216$ y $108$ .

$\frac{2 (- 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.6

Suma $- 108$ y $432$ .

$\frac{2 (324 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.1.7

Resta $24$ de $324$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{(36 + 24)}^{3}}$

Paso 13.2.2

Suma $36$ y $24$ .

$\frac{2 \cdot 300}{60^{3}}$

Paso 13.2.3

Eleva $60$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot 300}{216000}$

Paso 13.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.3.1

Multiplica $2$ por $300$ .

$\frac{600}{216000}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común de $600$ y $216000$ .

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Paso 13.3.2.1

Factoriza $600$ de $600$ .

$\frac{600 (1)}{216000}$

Paso 13.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.2.1

Factoriza $600$ de $216000$ .

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Paso 13.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Paso 13.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{360}$

Paso 14

$x = - 6$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 6$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 6$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Suma $- 6$ y $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Paso 15.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{36 + 24}$

Paso 15.2.2.2

Suma $36$ y $24$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{60}$

Paso 15.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 15.2.3.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $60$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f (- 6) = \frac{5 (- 1)}{60}$

Paso 15.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $60$ .

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Paso 15.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Paso 15.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 6) = \frac{- 1}{12}$

Paso 15.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 6) = - \frac{1}{12}$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ es un máximo local

$(- 6, - \frac{1}{12})$ es un mínimo local

Paso 17