Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 5$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 1.4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.8.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 1.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 1.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 1.13

Simplifica el numerador.

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Paso 1.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 1.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 1.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 1.16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17

Simplifica.

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Paso 1.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.17.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.17.3.1.1

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.17.3.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.17.3.1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.2

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.3

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.5

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Paso 1.17.3.5.1

Reordena $x^{\frac{1}{2}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.3.5.2

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.4

Combina los términos.

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Paso 1.17.4.1

Multiplica $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 1.17.4.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 1.17.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 1.17.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.17.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 1.17.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 1.17.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.6

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.7

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.8

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.17.4.9.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Paso 1.17.4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.17.5.1

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.17.5.3.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.17.5.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.3.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.3.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.5.3.2

Simplifica $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 1.17.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 1.17.7

Multiplica $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Paso 1.17.7.1

Multiplica $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Paso 1.17.7.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.17.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.17.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.7.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.7.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.17.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Paso 2.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Paso 2.9

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.3.1.1

Multiplica $- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.1.1

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.1.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.3

Multiplica $5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.3.1

Combina $5$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.1.3.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.2

Para escribir $x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.3

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.7

Resta $3 x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.3.8.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.8.1.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.8.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $15 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.8.1.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.8.2

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.8.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.10

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.12

Reescribe $- (x - 15)$ como $- 1 (x - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.4

Combina los términos.

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Paso 2.10.4.1

Reescribe $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ como un producto.

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

Paso 2.10.4.2

Multiplica $\frac{1}{2 x^{3}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

Paso 2.10.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

Paso 2.10.4.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.10.4.5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.4.5.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Paso 2.10.4.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Paso 2.10.4.5.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 2.10.4.5.4

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.10.4.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Paso 2.10.4.5.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.5.6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Paso 2.10.4.5.6.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.8.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 4.1.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 4.1.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 4.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 4.1.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 4.1.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 4.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 4.1.15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 4.1.16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.3.1.1

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.3.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.3.1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.2

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.3

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.5

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.3.5.1

Reordena $x^{\frac{1}{2}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.3.5.2

Resta $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.4.1

Multiplica $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 4.1.17.4.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.6

Combina $- 2$ y $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.7

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.8

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.9

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.4.9.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.5.1

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.5.3.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.5.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.3.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.3.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.5.3.2

Simplifica $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 4.1.17.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 4.1.17.7

Multiplica $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.7.1

Multiplica $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Paso 4.1.17.7.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.17.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.7.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.7.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.1.17.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 5 = 0$

Paso 5.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.1.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Paso 6.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Paso 6.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 5$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 5$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Resta $15$ de $5$ .

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.2

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.5

Mueve $5^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Paso 9.6

Multiplica $5^{\frac{5}{2}}$ por $5^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.6.1

Mueve $5^{- 1}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Paso 9.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.6.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.6.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Paso 9.6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

Paso 9.6.6.2

Suma $- 2$ y $5$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.7

Multiplica $- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 9.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.7.2

Multiplica $\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

$x = 5$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 5$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 5$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.2

Suma $5$ y $5$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.3

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 11.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $\frac{10}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 11.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 11.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 11.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 11.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Paso 11.2.5

Cancela el factor común de $10$ y $5$ .

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Paso 11.2.5.1

Factoriza $5$ de $10 \sqrt{5}$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Paso 11.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Paso 11.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Paso 11.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Paso 11.2.5.2.4

Divide $2 \sqrt{5}$ por $1$ .

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $2 \sqrt{5}$ .

$y = 2 \sqrt{5}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ .

$(5, 2 \sqrt{5})$ es un mínimo local

Paso 13