Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Combina fracciones.

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Paso 1.4.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ y $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 1.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Paso 1.10

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.4

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.9

Combina $\frac{- 2}{8}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 2.2.10.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.12

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ y $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.13

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.14

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.14.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.14.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.14.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.14.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.2.14.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Paso 2.3.2

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)$

Paso 2.3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{- 2}{8}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 2.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})$

Paso 2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})$

Paso 2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})$

Paso 2.3.9

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ y $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - 2 (\frac{1}{4}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.7

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ y $\frac{- 2}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.8

Combina $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot (- 2 x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.9

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.10.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 (2)} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.12

Para escribir $- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.2.13.1

Multiplica $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2 - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.15

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.16

Resta $e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Paso 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia.

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Paso 4.1.4.1

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.1.4.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ y $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.4

Combina fracciones.

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Paso 4.1.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 4.1.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Paso 4.1.10

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Paso 5.2.1.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ de $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1) = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.3

Reescribe $\frac{x^{2}}{4}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- {(\frac{x}{2})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2.4

Reordena $- {(\frac{x}{2})}^{2}$ y $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}) = 0$

Paso 5.2.5

Factoriza.

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Paso 5.2.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} ((1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})) = 0$

Paso 5.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

$1 + \frac{x}{2} = 0$

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $1 + \frac{x}{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $1 + \frac{x}{2}$ igual a $0$ .

$1 + \frac{x}{2} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $1 + \frac{x}{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = - 1$

Paso 5.5.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 5.5.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 5.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \cdot - 1$

Paso 5.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 5.6

Establece $1 - \frac{x}{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $1 - \frac{x}{2}$ igual a $0$ .

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve $1 - \frac{x}{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Paso 5.6.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.3.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

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Paso 5.6.2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 5.6.2.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Paso 5.6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{(- 2)}^{3} e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.5

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.6.1

Factoriza $8$ de $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (- 1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 9.1.8

Mueve $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2)}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Paso 9.1.9

Factoriza $2$ de $3 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Paso 9.1.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.10.1

Factoriza $2$ de $4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Paso 9.1.10.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Paso 9.1.10.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Paso 9.1.11

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Paso 9.1.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Paso 9.1.13

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.13.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Paso 9.1.13.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.13.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Paso 9.1.13.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Paso 9.1.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.15

Multiplica $- - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.15.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.1.15.2

Multiplica $\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 10

$x = - 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- {(- 2)}^{2}}{8}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 11.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 11.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 11.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 11.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 11.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $- \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{{(2)}^{3} e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2)}^{3}}{16 e^{\frac{2^{2}}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.5

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 (1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.6.1

Factoriza $8$ de $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Paso 13.1.7

Mueve $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2)}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Paso 13.1.8

Factoriza $2$ de $3 (2)$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Paso 13.1.9

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.9.1

Factoriza $2$ de $4 e^{\frac{2^{2}}{8}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Paso 13.1.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Paso 13.1.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Paso 13.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Paso 13.1.11

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Paso 13.1.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Paso 13.1.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Paso 13.1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $2 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (e^{\frac{1}{2}})}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14

$x = 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 2$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = (2) \cdot e^{\frac{- {(2)}^{2}}{8}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 15.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 15.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 15.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 15.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.2.5

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (2) = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ es un mínimo local

$(2, \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ es un máximo local

Paso 17