Cálculo Ejemplos

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 e^{x} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 e^{x}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 e^{x}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 e^{x} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 e^{x}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 4.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Paso 5.2.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 u$ de $12 u - 2 u^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2 u$ de $12 u$ .

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (6) + 2 u (- u)$ .

$2 u (6 - u) = 0$

Paso 5.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $6 - e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $6 - e^{x}$ igual a $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $6 - e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} = - 6$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Paso 5.5.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Paso 5.5.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Paso 5.5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Paso 5.5.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (6)$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ verdadera.

$x = \ln (6)$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \ln (6)$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \ln (6)$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Paso 9.1.2

Multiplica $12$ por $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Paso 9.1.3

Simplifica $2 (\ln (6))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Paso 9.1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Paso 9.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Paso 9.1.6

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$72 - 144$

Paso 9.2

Resta $144$ de $72$ .

$- 72$

Paso 10

$x = \ln (6)$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \ln (6)$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \ln (6)$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (6)$ en la expresión.

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $12$ por $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Paso 11.2.1.3

Simplifica $2 (\ln (6))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Paso 11.2.1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Paso 11.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Paso 11.2.2

Resta $36$ de $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $36$ .

$y = 36$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ es un máximo local

Paso 13