Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Paso 1.2.1

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x y$ con respecto a $x$ es $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 1.4

Como $- 5 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $10 y - 3 x^{2}$ y $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 10 y$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 10 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x y$ con respecto a $x$ es $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Paso 4.1.4

Como $- 5 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Suma $10 y - 3 x^{2}$ y $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Paso 4.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Paso 5.2

Resta $10 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 10 y$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 10 y$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ como $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 5.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 5.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 5.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

Paso 5.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

Paso 5.5.4.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{30 y}$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11