Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 {(x - 1)}^{2} \cdot e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [10 ((x - 1) (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x + 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 1.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7

Diferencia.

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Paso 1.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7.3.3

Reescribe $- 1 (x^{2} - 2 x + 1)$ como $- (x^{2} - 2 x + 1)$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 1.7.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.7.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.7.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.7.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 1.7.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + 0))$

Paso 1.7.10

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 ((- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5

Combina los términos.

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Paso 1.8.5.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 (x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 10 (2 x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 (x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.5

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.6

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.7

Multiplica $2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 (e^{- x} (x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 1.8.5.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x + 10 (- 2 \cdot e^{- x})$

Paso 1.8.5.9

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x - 20 e^{- x}$

Paso 1.8.5.10

Suma $20 x e^{- x}$ y $20 e^{- x} x$ .

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Paso 1.8.5.10.1

Mueve $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Paso 1.8.5.10.2

Suma $20 x e^{- x}$ y $20 x e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Paso 1.8.5.11

Resta $20 e^{- x}$ de $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Paso 1.8.6

Reordena los términos.

$- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$

Paso 1.8.7

Reordena los factores en $- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [40 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 30 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x e^{- x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 30 e^{- x})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 30 e^{- x}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 2.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 2.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 2.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 30 (- e^{- x})$

Paso 2.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 30 e^{- x}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 10 (x^{2} (- e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = 10 (x^{2} (e^{- x})) - 10 (e^{- x} (2 x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 (e^{- x} (x)) + 40 (x (- e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $- 1$ por $40$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 e^{- x} x - 40 (x (e^{- x})) + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3.4

Resta $40 x e^{- x}$ de $- 20 e^{- x} x$ .

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Paso 2.5.3.4.1

Mueve $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 20 x e^{- x} - 40 x e^{- x} + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3.4.2

Resta $40 x e^{- x}$ de $- 20 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 40 e^{- x} + 30 e^{- x}$

Paso 2.5.3.5

Suma $40 e^{- x}$ y $30 e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 70 e^{- x}$

Paso 2.5.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 10 e^{- x} x^{2} - 60 e^{- x} x + 70 e^{- x}$

Paso 2.5.5

Reordena los factores en $10 e^{- x} x^{2} - 60 e^{- x} x + 70 e^{- x}$ .

$f'' (x) = 10 x^{2} e^{- x} - 60 x e^{- x} + 70 e^{- x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [10 ((x - 1) (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [10 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - x - x + 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [10 (x^{2} - 2 x + 1) \cdot e^{- x}]$

Paso 4.1.4

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}]$

Paso 4.1.5

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7

Diferencia.

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Paso 4.1.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot ((x^{2} - 2 x + 1) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7.3.3

Reescribe $- 1 (x^{2} - 2 x + 1)$ como $- (x^{2} - 2 x + 1)$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

Paso 4.1.7.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.7.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.7.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.7.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 4.1.7.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2 + 0))$

Paso 4.1.7.10

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$10 (- (x^{2} - 2 x + 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 4.1.8

Simplifica.

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Paso 4.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 ((- x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1) e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 4.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x - 2))$

Paso 4.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x} - (- 2 x) e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5

Combina los términos.

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Paso 4.1.8.5.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 (x^{2} e^{- x}) + 10 (- (- 2 x) e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 10 (2 x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 (x e^{- x}) + 10 (- 1 \cdot 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- 1 e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.5

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 10 (- e^{- x}) + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.6

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 10 (e^{- x} (2 x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.7

Multiplica $2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 (e^{- x} (x)) + 10 (e^{- x} \cdot - 2)$

Paso 4.1.8.5.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x + 10 (- 2 \cdot e^{- x})$

Paso 4.1.8.5.9

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} + 20 e^{- x} x - 20 e^{- x}$

Paso 4.1.8.5.10

Suma $20 x e^{- x}$ y $20 e^{- x} x$ .

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Paso 4.1.8.5.10.1

Mueve $e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 20 x e^{- x} + 20 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Paso 4.1.8.5.10.2

Suma $20 x e^{- x}$ y $20 x e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 10 e^{- x} - 20 e^{- x}$

Paso 4.1.8.5.11

Resta $20 e^{- x}$ de $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Paso 4.1.8.6

Reordena los términos.

$- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$

Paso 4.1.8.7

Reordena los factores en $- 10 e^{- x} x^{2} + 40 e^{- x} x - 30 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $10 e^{- x}$ de $- 10 x^{2} e^{- x} + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $10 e^{- x}$ de $- 10 x^{2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 40 x e^{- x} - 30 e^{- x} = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $10 e^{- x}$ de $40 x e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x) - 30 e^{- x} = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $10 e^{- x}$ de $- 30 e^{- x}$ .

$10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x) + 10 e^{- x} (- 3) = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $10 e^{- x}$ de $10 e^{- x} (- x^{2}) + 10 e^{- x} (4 x)$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x) + 10 e^{- x} (- 3) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $10 e^{- x}$ de $10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x) + 10 e^{- x} (- 3)$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 x - 3) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 3 = 3$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + 4 (x) - 3) = 0$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $1$ más $3$

$10 e^{- x} (- x^{2} + (1 + 3) x - 3) = 0$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 e^{- x} (- x^{2} + 1 x + 3 x - 3) = 0$

Paso 5.2.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$10 e^{- x} (- x^{2} + x + 3 x - 3) = 0$

Paso 5.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$10 e^{- x} ((- x^{2} + x) + 3 x - 3) = 0$

Paso 5.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$10 e^{- x} (x (- x + 1) - 3 (- x + 1)) = 0$

Paso 5.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$10 e^{- x} ((- x + 1) (x - 3)) = 0$

Paso 5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$10 e^{- x} (- x + 1) (x - 3) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $- x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 5.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $10 e^{- x} (- x + 1) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 1, 3$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$10 {(1)}^{2} e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$10 \cdot 1 e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 e^{- (1)} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 e^{- 1} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{e} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.5

Combina $10$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} - 60 \cdot 1 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.6

Multiplica $- 60$ por $1$ .

$\frac{10}{e} - 60 e^{- (1)} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{10}{e} - 60 e^{- 1} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{e} - 60 \frac{1}{e} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.9

Combina $- 60$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} + \frac{- 60}{e} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 e^{- (1)}$

Paso 9.1.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 e^{- 1}$

Paso 9.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + 70 \frac{1}{e}$

Paso 9.1.13

Combina $70$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{10}{e} - \frac{60}{e} + \frac{70}{e}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 - 60 + 70}{e}$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.2.1

Resta $60$ de $10$ .

$\frac{- 50 + 70}{e}$

Paso 9.2.2.2

Suma $- 50$ y $70$ .

$\frac{20}{e}$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 10 {((1) - 1)}^{2} \cdot e^{- (1)}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 10 \cdot 0^{2} \cdot e^{- (1)}$

Paso 11.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (1) = 10 \cdot 0 \cdot e^{- (1)}$

Paso 11.2.3

Multiplica $10$ por $0$ .

$f (1) = 0 \cdot e^{- (1)}$

Paso 11.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 0 \cdot e^{- 1}$

Paso 11.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = 0 \cdot \frac{1}{e}$

Paso 11.2.6

Multiplica $0$ por $\frac{1}{e}$ .

$f (1) = 0$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$10 {(3)}^{2} e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$10 \cdot 9 e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.2

Multiplica $10$ por $9$ .

$90 e^{- (3)} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$90 e^{- 3} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$90 \frac{1}{e^{3}} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.5

Combina $90$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 60 \cdot 3 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.6

Multiplica $- 60$ por $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 e^{- (3)} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 e^{- 3} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - 180 \frac{1}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.9

Combina $- 180$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} + \frac{- 180}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 e^{- (3)}$

Paso 13.1.11

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 e^{- 3}$

Paso 13.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + 70 \frac{1}{e^{3}}$

Paso 13.1.13

Combina $70$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{90}{e^{3}} - \frac{180}{e^{3}} + \frac{70}{e^{3}}$

Paso 13.2

Combina fracciones.

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Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{90 - 180 + 70}{e^{3}}$

Paso 13.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.2.2.1

Resta $180$ de $90$ .

$\frac{- 90 + 70}{e^{3}}$

Paso 13.2.2.2

Suma $- 90$ y $70$ .

$\frac{- 20}{e^{3}}$

Paso 13.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{e^{3}}$

Paso 14

$x = 3$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 3$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 10 {((3) - 1)}^{2} \cdot e^{- (3)}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = 10 \cdot 2^{2} \cdot e^{- (3)}$

Paso 15.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 10 \cdot 4 \cdot e^{- (3)}$

Paso 15.2.3

Multiplica $10$ por $4$ .

$f (3) = 40 \cdot e^{- (3)}$

Paso 15.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (3) = 40 \cdot e^{- 3}$

Paso 15.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = 40 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Paso 15.2.6

Combina $40$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f (3) = \frac{40}{e^{3}}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $\frac{40}{e^{3}}$ .

$y = \frac{40}{e^{3}}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 10 {(x - 1)}^{2} \cdot e^{- x}$ .

$(1, 0)$ es un mínimo local

$(3, \frac{40}{e^{3}})$ es un máximo local

Paso 17