Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.1.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ como ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.1.4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.1.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Paso 1.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Paso 1.5.6.2

Suma $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ y $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4

Combina los términos.

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Paso 1.6.4.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.4

Combina $- 10$ y $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.5

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.6.4.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.6.4.8

Combina $10$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Paso 1.6.4.9

Multiplica $10$ por $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Paso 1.6.5

Reordena los términos.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{20}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.2.8

Multiplica $- 3$ por $20$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ como ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Paso 2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

Paso 2.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Paso 2.3.8

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Paso 2.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

Paso 2.3.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

Paso 2.3.11

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

Paso 2.3.12

Multiplica ${(x + 3)}^{- 6}$ por ${(x + 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.12.1

Mueve ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

Paso 2.3.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

Paso 2.3.12.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

Paso 2.3.13

Multiplica $- 3$ por $- 60$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $- 60$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Paso 2.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Paso 2.4.3.3

Combina $180$ y $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 4.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.1.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.1.4.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ como ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.1.4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.1.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.1.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5

Diferencia.

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Paso 4.1.5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.1.5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Paso 4.1.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.5.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Paso 4.1.5.6.2

Suma $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ y $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Paso 4.1.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4

Combina los términos.

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Paso 4.1.6.4.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.4

Combina $- 10$ y $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.5

Multiplica $- 10$ por $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.6.4.7

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Paso 4.1.6.4.8

Combina $10$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Paso 4.1.6.4.9

Multiplica $10$ por $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Paso 4.1.6.5

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 6.78350009$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{20}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el denominador en $\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 3)}^{3} = 0$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 6.78350009$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 6.78350009$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Suma $6.78350009$ y $3$ .

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Paso 9.1.1.2

Eleva $9.78350009$ a la potencia de $4$ .

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Paso 9.1.2

Divide $180$ por $9161.72000483$ .

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Paso 9.1.3

Eleva $6.78350009$ a la potencia de $4$ .

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

Paso 9.1.4

Divide $60$ por $2117.46062276$ .

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 1$ por $0.02833582$ .

$0.01964696 - 0.02833582$

Paso 9.2

Resta $0.02833582$ de $0.01964696$ .

$- 0.00868886$

Paso 10

$x = 6.78350009$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 6.78350009$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 6.78350009$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.78350009$ en la expresión.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.1.1

Suma $6.78350009$ y $3$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Paso 11.2.1.1.2

Eleva $9.78350009$ a la potencia de $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Paso 11.2.1.2

Divide $3$ por $95.71687419$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Paso 11.2.1.3

Eleva $6.78350009$ a la potencia de $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

Paso 11.2.1.4

Divide $1$ por $46.01587359$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0.02173163$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Resta $0.02173163$ de $0.03134243$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $10$ por $0.0096108$ .

$f (6.78350009) = 0.09610804$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0.09610804$ .

$y = 0.09610804$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(6.78350009, 0.09610804)$ es un máximo local

Paso 13