Cálculo Ejemplos

$f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Paso 1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Paso 1.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Paso 1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Paso 1.7

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.8.3

Combina los términos.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $100$ por $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.8.3.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Paso 1.8.3.3

Combina $100$ y $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Paso 1.8.3.4

Multiplica $100$ por $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Paso 1.8.4

Reordena los términos.

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{800}{x^{3}} + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{800}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $800$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{800}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 800 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.2.8

Multiplica $- 3$ por $800$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 2.3

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2400 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 2400$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2400}{x^{4}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}} + 0$

Paso 2.4.2.3

Suma $- \frac{2400}{x^{4}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Paso 4.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Paso 4.1.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Paso 4.1.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Paso 4.1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Paso 4.1.8

Simplifica.

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Paso 4.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.8.3

Combina los términos.

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Paso 4.1.8.3.1

Multiplica $100$ por $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.8.3.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Paso 4.1.8.3.3

Combina $100$ y $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Paso 4.1.8.3.4

Multiplica $100$ por $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Paso 4.1.8.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 100$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{800}{x^{3}} + 100$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Paso 5.2

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{800}{x^{3}} = - 100$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ por $x^{3}$ .

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$800 = - 100 x^{3}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 100 x^{3} = 800$ .

$- 100 x^{3} = 800$

Paso 5.5.2

Resta $800$ de ambos lados de la ecuación.

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Paso 5.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.5.3.1

Factoriza $- 100$ de $- 100 x^{3} - 800$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Factoriza $- 100$ de $- 100 x^{3}$ .

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Paso 5.5.3.1.2

Factoriza $- 100$ de $- 800$ .

$- 100 x^{3} - 100 \cdot 8 = 0$

Paso 5.5.3.1.3

Factoriza $- 100$ de $- 100 (x^{3}) - 100 (8)$ .

$- 100 (x^{3} + 8) = 0$

Paso 5.5.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- 100 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Paso 5.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 5.5.3.4

Factoriza.

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Paso 5.5.3.4.1

Simplifica.

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Paso 5.5.3.4.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 5.5.3.4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Paso 5.5.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Paso 5.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 5.5.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.5.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5.5.6

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.6.1

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 5.5.6.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 5.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 5.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 5.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{800}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2400}{{(- 2)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{2400}{16}$

Paso 9.2

Divide $2400$ por $16$ .

$- 1 \cdot 150$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $150$ .

$- 150$

Paso 10

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 100 ((- 2) - \frac{4}{{(- 2)}^{2}})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Paso 11.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Paso 11.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1)$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Resta $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = 100 \cdot - 3$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $100$ por $- 3$ .

$f (- 2) = - 300$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 300$ .

$y = - 300$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ .

$(- 2, - 300)$ es un máximo local

Paso 13