Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x - 10 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$10 - 10 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$10 + 10 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 + 10 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Paso 2.1.2

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

Paso 2.3

Suma $0$ y $10 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$10 + 10 \sin (x) = 0$

Paso 4

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$10 \sin (x) = - 10$

Paso 5

Divide cada término en $10 \sin (x) = - 10$ por $10$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $10 \sin (x) = - 10$ por $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $- 10$ por $10$ .

$\sin (x) = - 1$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 8

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 9.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 10

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

Paso 12.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$10 \cos (\frac{π}{2})$

Paso 12.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$10 \cdot 0$

Paso 12.4

Multiplica $10$ por $0$ .

$0$

Paso 13

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 13.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Paso 13.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ en la primera derivada $10 + 10 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 13.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

Paso 13.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.2.1.1

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

Paso 13.2.2.1.2

Multiplica $10$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

Paso 13.2.2.2

Suma $10$ y $7.56802495$ .

$f' (- 4) = 17.56802495$

Paso 13.2.2.3

La respuesta final es $17.56802495$ .

$17.56802495$

Paso 13.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $10 + 10 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 13.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

Paso 13.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

Paso 13.3.2.1.2

Multiplica $10$ por $0$ .

$f' (0) = 10 + 0$

Paso 13.3.2.2

Suma $10$ y $0$ .

$f' (0) = 10$

Paso 13.3.2.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 13.4

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $10 + 10 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 13.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

Paso 13.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.4.2.1.1

Evalúa $\sin (7)$ .

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

Paso 13.4.2.1.2

Multiplica $10$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

Paso 13.4.2.2

Suma $10$ y $6.56986598$ .

$f' (7) = 16.56986598$

Paso 13.4.2.3

La respuesta final es $16.56986598$ .

$16.56986598$

Paso 13.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = - \frac{π}{2}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 13.6

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 14