Cálculo Ejemplos

$\frac{{(5 t - 2)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = {(5 t - 2)}^{2}$ y $g (t) = {(t^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{({(t^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(t^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 5 t - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 t - 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 t - 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (2 (5 t - 2) \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) \frac{d}{d t} [5 t - 2] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 + 0) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) \cdot 5 - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 4.7.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t^{2} + 1$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{2} + 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{2} + 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (3 {(t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [1]))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t + 0))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} (2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 6.5.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ de $10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ de $10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ de $- 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) + 2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ de $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) + 2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 3 (5 t - 2) t)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1) - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 \cdot 1 - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.5

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 15 t - 3 \cdot - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 15 t + 6) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 t \cdot t + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.8

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.8.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 (t \cdot t) + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.8.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 t^{2} + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.9

Resta $15 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 5 + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.1.10

Reordena los términos.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ y ${(t^{2} + 1)}^{6}$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza ${(t^{2} + 1)}^{2}$ de $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza ${(t^{2} + 1)}^{2}$ de ${(t^{2} + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{2} {(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{2} {(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

$\frac{2 (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 10 t^{2} + 6 t + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $- 10 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2}) + 6 t + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $6 t$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2}) - (- 6 t) + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.6

Factoriza $- 1$ de $- (10 t^{2}) - (- 6 t)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t) + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.7

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t) - 1 (- 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.8

Factoriza $- 1$ de $- (10 t^{2} - 6 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.9

Reescribe $- (10 t^{2} - 6 t - 5)$ como $- 1 (10 t^{2} - 6 t - 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 7.11

Reordena los factores en $- \frac{(2 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{2 (10 t^{2} - 6 t - 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$