Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.3.3

Multiplica ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.5.2

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.10.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.10.4

Combina $2$ y $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11

Simplifica.

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Paso 1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.3

Factoriza $2$ de $- 2 x + 8$ .

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Paso 1.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.7

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 1.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica ${(x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.5.2

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza ${(x + 4)}^{2}$ de ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.10.3

Combina $- 2$ y $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.10.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.3.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3.1.3

Multiplica $2 (- 3 \cdot - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.3.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3.2

Resta $6 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 8 + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.3.3

Suma $8$ y $24$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.4

Factoriza $4$ de $- 4 x + 32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.4.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.4.2

Factoriza $4$ de $32$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 4 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.4.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.6

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.8

Reescribe $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 2.11.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Paso 2.11.11

Multiplica $\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Paso 4.1.2

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3

Multiplica ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.2

Factoriza $x + 4$ de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.3

Factoriza $x + 4$ de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Paso 4.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.6.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.10

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.10.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.10.3

Resta $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.10.4

Combina $2$ y $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11

Simplifica.

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Paso 4.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.3

Factoriza $2$ de $- 2 x + 8$ .

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Paso 4.1.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.7

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.1.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x - 4) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 (x - 4) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $2 (x - 4) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{8^{4}}$

Paso 9.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4096}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{- 16}{4096}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $4096$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $16$ de $- 16$ .

$\frac{16 (- 1)}{4096}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $4096$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{256}$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{256}$

Paso 10

$x = 4$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 4$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{2 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (4) = \frac{8}{{(4 + 4)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Suma $4$ y $4$ .

$f (4) = \frac{8}{8^{2}}$

Paso 11.2.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{8}{64}$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $64$ .

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Paso 11.2.3.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$f (4) = \frac{8 (1)}{64}$

Paso 11.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Paso 11.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ es un máximo local

Paso 13