Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Paso 1.4.2

Suma $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ y $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin^{2} (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.6

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.6.1

Mueve $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.2.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = 6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.8

Reescribe $- 1 \sin^{3} (x)$ como $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = - 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $3 \cos (x)$ de $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $3 \cos (x)$ de $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $3 \cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $3 \cos (x)$ de $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ .

$3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 6

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

Establece $2 \sin^{2} (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 \sin^{2} (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 \sin^{2} (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 7.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 7.2.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 7.2.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 7.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.2.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.2.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.2.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.6

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.7

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 7.2.7.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 7.2.7.2

La inversa del seno de $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.2.8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 7.2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 7.2.8.2

La inversa del seno de $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.2.9

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 \cos (x) (2 \sin^{2} (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Paso 10.1.10

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 6 - 3$

Paso 10.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 10.2.1

Resta $6$ de $0$ .

$- 6 - 3$

Paso 10.2.2

Resta $3$ de $- 6$ .

$- 9$

Paso 11

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Paso 12.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Paso 12.2.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 \cdot 1 + 4$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 3 + 4$

Paso 12.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 12.2.2.1

Suma $2$ y $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 + 4$

Paso 12.2.2.2

Suma $5$ y $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = 9$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $9$ .

$y = 9$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.4

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 \sin (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$0 (- \sin (\frac{π}{2})) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.7

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 14.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.7.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 - 6 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.8

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.12

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 14.1.14

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 14.1.15

Multiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 14.1.15.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Paso 14.1.15.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Paso 14.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 14.2.1

Suma $0$ y $6$ .

$6 + 3$

Paso 14.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$9$

Paso 15

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin^{3} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Paso 16.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Paso 16.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Paso 16.2.1.8

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 16.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 3 \cdot - 1 + 4$

Paso 16.2.1.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 3 + 4$

Paso 16.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 16.2.2.1

Resta $3$ de $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 + 4$

Paso 16.2.2.2

Suma $- 5$ y $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 4$ .

$(\frac{π}{2}, 9)$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ es un mínimo local

Paso 18