Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{9} \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = \ln (2 x)$ .

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x^{9}$ y $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $2$ y $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.4.2.2

Divide $x^{8}$ por $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.6

Multiplica $x^{8}$ por $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Paso 1.5.2

Multiplica $9$ por $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{8}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{8}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$f'' (x) = 5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Paso 2.2.3

Multiplica $8$ por $5$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $45 x^{8} \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $45 \frac{d}{d x} [x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (2 x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = \ln (2 x)$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} \frac{d}{d x} (\ln (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot 2) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $2$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.9.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.9.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.10

Combina $x^{8}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{8}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11

Cancela el factor común de $x^{8}$ y $x$ .

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Paso 2.3.11.1

Factoriza $x$ de $x^{8}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11.2.3

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11.2.4

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{7}}{1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.3.11.2.5

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{7} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 45 (\ln (2 x) (8 x^{7}))$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $8$ por $45$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 360 (\ln (2 x) (x^{7}))$

Paso 2.4.2.2

Suma $40 x^{7}$ y $45 x^{7}$ .

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 \ln (2 x) x^{7}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 x^{7} \ln (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{9} \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = \ln (2 x)$ .

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4

Diferencia.

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Paso 4.1.4.1

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de $x^{9}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.2.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.4.4.1

Combina $2$ y $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.4.2.2

Divide $x^{8}$ por $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.6

Multiplica $x^{8}$ por $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 4.1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $9$ por $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Paso 4.1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Paso 5.2

Resta $5 x^{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$

Paso 5.3

Divide cada término en $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ por $45 x^{8}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ por $45 x^{8}$ .

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $45$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (2 x)$ por $1$ .

$\ln (2 x) = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $45$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{45 x^{8}}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $45 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2 x) = \frac{- 1}{9}$

Paso 5.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 x)} = e^{- \frac{1}{9}}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{9}} = 2 x$

Paso 5.6

Resuelve $x$

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Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ .

$2 x = e^{- \frac{1}{9}}$

Paso 5.6.2

Divide cada término en $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Divide cada término en $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Paso 5.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.3.1

Mueve $e^{- \frac{1}{9}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (2 x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x \leq 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $2 x \leq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $2 x \leq 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{2}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x \leq 0$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$85 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla del producto a $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$85 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$85 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

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Paso 9.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.3.2.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $7$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.4

Combina $85$ y $\frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.5.2

Aplica la regla del producto a $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.7

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.7.1

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.7.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

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Paso 9.1.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.7.2.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.8

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.1.8.1

Factoriza $8$ de $360$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.8.2

Factoriza $8$ de $128 e^{\frac{7}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 \cdot 45 \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 45 \frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.9

Combina $45$ y $\frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 9.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})$

Paso 9.1.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Paso 9.1.11

Mueve $e^{\frac{1}{9}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Paso 9.1.12

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{9}$ fuera del logaritmo.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \ln (e))$

Paso 9.1.13

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Paso 9.1.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9})$

Paso 9.1.15

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 9.1.15.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{9}$ al numerador.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Paso 9.1.15.2

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 (5)}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Paso 9.1.15.3

Cancela el factor común.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 \cdot 5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Paso 9.1.15.4

Reescribe la expresión.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot - 1$

Paso 9.1.16

Combina $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ y $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5 \cdot - 1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.1.17

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{- 5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.1.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.2

Para escribir $- \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 9.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $128 e^{\frac{7}{9}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.1

Multiplica $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{16 e^{\frac{7}{9}} \cdot 8}$

Paso 9.3.2

Multiplica $8$ por $16$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{85 - 5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$\frac{85 - 40}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 9.5.2

Resta $40$ de $85$ .

$\frac{45}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Paso 10

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{9} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla del producto a $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $9$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{9}})}^{9}$ .

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Paso 11.2.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 11.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.3.3

Simplifica.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 11.2.4.1

Combina $5$ y $\frac{1}{512 e}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Paso 11.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Paso 11.2.4.3

Mueve $e^{\frac{1}{9}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Paso 11.2.5

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{9}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot \ln (e))$

Paso 11.2.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Paso 11.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9})$

Paso 11.2.8

Multiplica $\frac{5}{512 e} (- \frac{1}{9})$ .

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Paso 11.2.8.1

Multiplica $\frac{5}{512 e}$ por $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{512 e \cdot 9}$

Paso 11.2.8.2

Multiplica $9$ por $512$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{4608 e}$

Paso 11.2.9

La respuesta final es $- \frac{5}{4608 e}$ .

$y = - \frac{5}{4608 e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$ .

$(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}, - \frac{5}{4608 e})$ es un mínimo local

Paso 13