Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$12 \sin (x) \cos (x) + 6 \cos (x)$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 (- \sin (x))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) + 12 (- \sin^{2} (x)) - 6 \sin (x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) - 12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $6 \cos (x)$ de $12 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $6 \cos (x)$ de $12 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $6 \cos (x)$ de $6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $6 \cos (x)$ de $6 \cos (x) (2 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot 1$ .

$6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 6

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 6.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 7

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 7.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 7.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 7.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 7.2.7

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 12 \cdot 1^{2} - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.6

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot 1$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 - 12 - 6$

Paso 10.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 10.2.1

Resta $12$ de $0$ .

$- 12 - 6$

Paso 10.2.2

Resta $6$ de $- 12$ .

$- 18$

Paso 11

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.2.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6 \cdot 1$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 + 6$

Paso 12.2.2

Suma $6$ y $6$ .

$f (\frac{π}{2}) = 12$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $12$ .

$y = 12$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$12 \cdot 0^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.4

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$0 - 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 12 {(- 1)}^{2} - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$0 - 12 \cdot 1 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.9

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14.1.10

$0 - 12 - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 14.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 - 12 - 6 (- 1 \cdot 1)$

Paso 14.1.12

Multiplica $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 14.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 12 - 6 \cdot - 1$

Paso 14.1.12.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$0 - 12 + 6$

Paso 14.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.2.1

Resta $12$ de $0$ .

$- 12 + 6$

Paso 14.2.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$- 6$

Paso 15

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 {(- 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 16.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Paso 16.2.1.8

Multiplica $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 16.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 + 6 \cdot - 1$

Paso 16.2.1.8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 - 6$

Paso 16.2.2

Resta $6$ de $6$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$12 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.5.5

Evalúa el exponente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.7

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.7.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.7.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.10

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.12.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.14

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.17.2

Cancela el factor común.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.17.3

Reescribe la expresión.

$9 - 3 - 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 18.1.18

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Paso 18.1.19

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 18.1.20

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 18.1.21

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.21.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Paso 18.1.21.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Paso 18.1.21.3

Cancela el factor común.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Paso 18.1.21.4

Reescribe la expresión.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Paso 18.1.22

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Paso 18.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1

Resta $3$ de $9$ .

$6 + 3$

Paso 18.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$9$

Paso 19

$x = - \frac{π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{π}{6}$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.6

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.9.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.9.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.9.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.9.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.10

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (- \frac{π}{6})$

Paso 20.2.1.11

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{11 π}{6})$

Paso 20.2.1.12

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 20.2.1.13

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 20.2.1.14

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.14.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Paso 20.2.1.14.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Paso 20.2.1.14.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Paso 20.2.1.14.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Paso 20.2.1.15

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Paso 20.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 20.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 20.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 20.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Paso 20.2.5.2

Resta $6$ de $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 20.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Paso 20.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$12 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.5

Multiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$12 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.6.5

Evalúa el exponente.

$12 \frac{3}{2^{2}} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 (\frac{3}{4}) - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.8.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.8.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 3 \frac{3}{4} - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.8.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 3 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.9

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 - 12 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.10

$9 - 12 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.12.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$9 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.14

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$9 - 12 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - 12 \frac{1}{2^{2}} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$9 - 12 (\frac{1}{4}) - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$9 + 4 (- 3) \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.17.2

Cancela el factor común.

$9 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4} - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.17.3

Reescribe la expresión.

$9 - 3 - 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 22.1.18

$9 - 3 - 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 22.1.19

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$9 - 3 - 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 22.1.20

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1.20.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$9 - 3 - 6 (\frac{- 1}{2})$

Paso 22.1.20.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$9 - 3 + 2 (- 3) \frac{- 1}{2}$

Paso 22.1.20.3

Cancela el factor común.

$9 - 3 + 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2}$

Paso 22.1.20.4

Reescribe la expresión.

$9 - 3 - 3 \cdot - 1$

Paso 22.1.21

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$9 - 3 + 3$

Paso 22.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.2.1

Resta $3$ de $9$ .

$6 + 3$

Paso 22.2.2

Suma $6$ y $3$ .

$9$

Paso 23

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{7 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.5

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.8.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.9

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 \sin (\frac{7 π}{6})$

Paso 24.2.1.10

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 24.2.1.11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 24.2.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.2.1.12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2})$

Paso 24.2.1.12.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Paso 24.2.1.12.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Paso 24.2.1.12.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1$

Paso 24.2.1.13

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3$

Paso 24.2.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 24.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 24.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 24.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 24.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{2}$

Paso 24.2.5.2

Resta $6$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Paso 24.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Paso 24.2.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 25

Estos son los extremos locales de $f (x) = 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 12)$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ es un máximo local

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ es un mínimo local

Paso 26