Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.8

Combina $6$ y $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.9

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.10

Factoriza $3$ de $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.11.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2.11.4

Divide $8 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.9

Combina $- 3$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.11

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 1.3.12.2

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.9

Combina $8$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.10.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.13

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.14.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.14.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.14.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.15

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.16

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Paso 2.3.18

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Paso 2.3.19

Suma $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.8

Combina $6$ y $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.10

Factoriza $3$ de $24 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.11.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2.11.4

Divide $8 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.9

Combina $- 3$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.11

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{\frac{2}{3}}, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$8 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$8 x^{1} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica $8 x^{1}$ .

$8 x - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ al numerador.

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$8 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$8 x - 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x - 1 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x = 1$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $8 x = 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $8 x = 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$8 \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.3.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{8}, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{8}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{3 \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{3 \frac{1}{2^{2}}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{3 (\frac{1}{4})} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.2

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{\frac{3}{4}} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 (\frac{4}{3}) + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $8 (\frac{4}{3})$ .

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Paso 9.1.4.1

Combina $8$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{5}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{8^{\frac{5}{3}}}}$

Paso 9.1.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}}$

Paso 9.1.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

Paso 9.1.5.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{3 (\frac{5}{3})}}}$

Paso 9.1.5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 \frac{1}{2^{5}}}$

Paso 9.1.5.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3 (\frac{1}{32})}$

Paso 9.1.6

Combina $3$ y $\frac{1}{32}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{\frac{3}{32}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{32}{3} + 2 (\frac{32}{3})$

Paso 9.1.8

Multiplica $2 (\frac{32}{3})$ .

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Paso 9.1.8.1

Combina $2$ y $\frac{32}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 32}{3}$

Paso 9.1.8.2

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{32}{3} + \frac{64}{3}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 + 64}{3}$

Paso 9.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.2.1

Suma $32$ y $64$ .

$\frac{96}{3}$

Paso 9.2.2.2

Divide $96$ por $3$ .

$32$

Paso 10

$x = \frac{1}{8}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{8}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{8}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{8}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{8}) = 6 {(\frac{1}{8})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{8^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{3 (\frac{4}{3})}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = 6 (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{1}{8}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{8}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{8}) = 3 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 {(\frac{1}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 11.2.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1^{\frac{1}{3}}}{8^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.2.1.8

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.8.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 11.2.1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.8.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 11.2.1.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.8.4

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.1.9

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{2}$

Paso 11.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}$

Paso 11.2.2

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 4}{8}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 3 \cdot 4}{8}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{3 - 12}{8}$

Paso 11.2.5.2

Resta $12$ de $3$ .

$f (\frac{1}{8}) = \frac{- 9}{8}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{8}) = - \frac{9}{8}$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $- \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8}{3 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{8}{0} + \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.2.2

La respuesta final es $8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $0.06$ , del intervalo $(0, \frac{1}{8})$ en la primera derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.06$ en la expresión.

$f' (0.06) = 8 {(0.06)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.2.1.1

Eleva $0.06$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.06) = 8 \cdot 0.39148676 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $8$ por $0.39148676$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{{(0.06)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.3.2.1.3

Eleva $0.06$ a la potencia de $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - \frac{1}{0.15326188}$

Paso 14.3.2.1.4

Divide $1$ por $0.15326188$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - 1 \cdot 6.5247794$

Paso 14.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $6.5247794$ .

$f' (0.06) = 3.13189411 - 6.5247794$

Paso 14.3.2.2

Resta $6.5247794$ de $3.13189411$ .

$f' (0.06) = - 3.39288528$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $- 3.39288528$ .

$- 3.39288528$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{1}{8}, \infty)$ en la primera derivada $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 8 {(3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{{(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.4.2.2

La respuesta final es $8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{1}{8}$ , $x = \frac{1}{8}$ es un mínimo local.

$x = \frac{1}{8}$ es un mínimo local

Paso 15