Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.11

Suma $1$ y $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.14

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.15

Combina $6$ y $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.16

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.17

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.5.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Paso 1.6.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.6.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.6.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Paso 1.6.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Paso 1.6.8

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 1.7.2

Combina los términos.

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Paso 1.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Paso 1.7.3

Reordena los términos.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.8

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.12.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.14

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.15

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.17

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.18

Combina $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.19

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.20

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.20.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.20.4

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.21

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.22

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Paso 4.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Paso 4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Paso 4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 4.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 4.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 4.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Paso 4.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.4

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 4.1.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.11

Suma $1$ y $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.12

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.13

Multiplica $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.14

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.15

Combina $6$ y $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.16

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.17

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.18.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.5.18.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 4.1.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 4.1.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.6.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.1.6.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Paso 4.1.6.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Paso 4.1.6.8

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Paso 4.1.7

Simplifica.

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Paso 4.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 4.1.7.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.1.7.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Paso 4.1.7.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 0, 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x - 1 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 2, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

Paso 9.1.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Paso 9.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 9.3

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Paso 9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Paso 9.5.2

Resta $4$ de $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Paso 9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{3}$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.7

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

Paso 11.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

Paso 11.2.1.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (0) = 6 - 2$

Paso 11.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$f (0) = 4$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Paso 13.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Paso 13.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 13.3

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Paso 13.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Paso 13.5.2

Resta $4$ de $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Paso 13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{3}$

Paso 14

$x = 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 2$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Paso 15.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Paso 15.2.1.4

Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

Paso 15.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (2) = 6 - 2$

Paso 15.2.2

Resta $2$ de $6$ .

$f (2) = 4$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Simplifica la expresión.

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Paso 17.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 17.2.1

Cancela el factor común.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 17.2.2

Reescribe la expresión.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

Paso 17.3

Simplifica la expresión.

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Paso 17.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

Paso 17.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 4 - \frac{4}{0}$

Paso 17.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 4 - \frac{4}{0}$

Paso 17.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 18

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 18.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 18.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.2.2.1.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.2.2.2

Suma $8$ y $4$ .

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.3

La respuesta final es $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.3

Sustituye cualquier número, como $0.5$ , del intervalo $(0, 1)$ en la primera derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.5$ en la expresión.

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.3.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.3.2.1.2

Resta $1$ de $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.3.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.3.2.3

La respuesta final es $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4

Sustituye cualquier número, como $1.5$ , del intervalo $(1, 2)$ en la primera derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.5$ en la expresión.

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 18.4.2.1.2.1

Resta $1$ de $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.4.2.1.2.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

Paso 18.4.2.1.3

Divide $4$ por $0.79370052$ .

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

Paso 18.4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 18.4.2.2.1

Suma $- 6$ y $5.03968419$ .

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

Paso 18.4.2.2.2

Suma $- 0.9603158$ y $4$ .

$f' (1.5) = 3.03968419$

Paso 18.4.2.3

La respuesta final es $3.03968419$ .

$3.03968419$

Paso 18.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.5.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.5.2.1.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

Paso 18.5.2.2

Suma $- 16$ y $4$ .

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.3

La respuesta final es $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 18.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 18.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 2$ , $x = 2$ es un máximo local.

$x = 2$ es un máximo local

Paso 18.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = 2$ es un máximo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = 2$ es un máximo local

Paso 19