Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{4} - 24 x^{3} - 93 x^{2} + 360 x + 25$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} - 24 x^{3} - 93 x^{2} + 360 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 24$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 93 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $- 93$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 93 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 93 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 93 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 93 (2 x) + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $- 93$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [360 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Como $360$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $360 x$ con respecto a $x$ es $360 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.5.3

Multiplica $360$ por $1$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 + 0$

Paso 1.6.2

Suma $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$ y $0$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 186 x] + \frac{d}{d x} [360]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 72$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (- 186 x) + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 186 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- 186$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 186 x$ con respecto a $x$ es $- 186 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x - 186 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x - 186 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 186$ por $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x - 186 + \frac{d}{d x} (360)$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Como $360$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $360$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x - 186 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $72 x^{2} - 144 x - 186$ y $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 144 x - 186$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 24$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 93 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 93 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Como $- 93$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 93 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 93 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 93 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 93 (2 x) + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 93$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [360 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Como $360$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $360 x$ con respecto a $x$ es $360 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $360$ por $1$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 + \frac{d}{d x} [25]$

Paso 4.1.6

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 + 0$

Paso 4.1.6.2

Suma $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$ y $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $6$ de $24 x^{3} - 72 x^{2} - 186 x + 360$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Factoriza $6$ de $24 x^{3}$ .

$6 (4 x^{3}) - 72 x^{2} - 186 x + 360 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $6$ de $- 72 x^{2}$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) - 186 x + 360 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 186 x$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) + 6 (- 31 x) + 360 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $6$ de $360$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) + 6 (- 31 x) + 6 (60) = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (4 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2})$ .

$6 (4 x^{3} - 12 x^{2}) + 6 (- 31 x) + 6 (60) = 0$

Paso 5.2.1.6

Factoriza $6$ de $6 (4 x^{3} - 12 x^{2}) + 6 (- 31 x)$ .

$6 (4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x) + 6 (60) = 0$

Paso 5.2.1.7

Factoriza $6$ de $6 (4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x) + 6 (60)$ .

$6 (4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x + 60) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x + 60$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 5.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 60, \pm 15, \pm 30, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 20, \pm 5, \pm 10, \pm 4, \pm 3.75, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Paso 5.2.2.3

Sustituye $1.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1.5$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.3.1

Sustituye $1.5$ en el polinomio.

$4 \cdot {1.5}^{3} - 12 \cdot {1.5}^{2} - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.2

Eleva $1.5$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 3.375 - 12 \cdot {1.5}^{2} - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.3

Multiplica $4$ por $3.375$ .

$13.5 - 12 \cdot {1.5}^{2} - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.4

Eleva $1.5$ a la potencia de $2$ .

$13.5 - 12 \cdot 2.25 - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.5

Multiplica $- 12$ por $2.25$ .

$13.5 - 27 - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.6

Resta $27$ de $13.5$ .

$- 13.5 - 31 \cdot 1.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.7

Multiplica $- 31$ por $1.5$ .

$- 13.5 - 46.5 + 60$

Paso 5.2.2.3.8

Resta $46.5$ de $- 13.5$ .

$- 60 + 60$

Paso 5.2.2.3.9

Suma $- 60$ y $60$ .

$0$

Paso 5.2.2.4

Como $1.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x + 60}{2 x - 3}$

Paso 5.2.2.5

Divide $4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x + 60$ por $2 x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$31 x$

$60$

Paso 5.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$

Paso 5.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			+	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 5.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$

Paso 5.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$

Paso 5.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 5.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 9 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 5.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$

Paso 5.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Paso 5.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 40 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Paso 5.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							-	$40 x$	+	$60$

Paso 5.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 40 x + 60$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$

Paso 5.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$31 x$	+	$60$
			-	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$31 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$
										$0$

Paso 5.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 3 x - 20$

Paso 5.2.2.6

Escribe $4 x^{3} - 12 x^{2} - 31 x + 60$ como un conjunto de factores.

$6 ((2 x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ y cuya suma es $b = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$6 ((2 x - 3) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Paso 5.2.3.1.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $5$ más $- 8$

$6 ((2 x - 3) (2 x^{2} + (5 - 8) x - 20)) = 0$

Paso 5.2.3.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 ((2 x - 3) (2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20)) = 0$

Paso 5.2.3.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 ((2 x - 3) ((2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20)) = 0$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 ((2 x - 3) (x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5))) = 0$

Paso 5.2.3.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 5$ .

$6 ((2 x - 3) ((2 x + 5) (x - 4))) = 0$

Paso 5.2.3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 ((2 x - 3) (2 x + 5) (x - 4)) = 0$

Paso 5.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (2 x - 3) (2 x + 5) (x - 4) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 5.4

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 5.5

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 5.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (2 x - 3) (2 x + 5) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$72 {(\frac{3}{2})}^{2} - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$72 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$72 \frac{9}{2^{2}} - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$72 (\frac{9}{4}) - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$4 (18) \frac{9}{4} - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 18 \frac{9}{4} - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.4.3

Reescribe la expresión.

$18 \cdot 9 - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.5

Multiplica $18$ por $9$ .

$162 - 144 (\frac{3}{2}) - 186$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 144$ .

$162 + 2 (- 72) \frac{3}{2} - 186$

Paso 9.1.6.2

Cancela el factor común.

$162 + 2 \cdot - 72 \frac{3}{2} - 186$

Paso 9.1.6.3

Reescribe la expresión.

$162 - 72 \cdot 3 - 186$

Paso 9.1.7

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$162 - 216 - 186$

Paso 9.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Resta $216$ de $162$ .

$- 54 - 186$

Paso 9.2.2

Resta $186$ de $- 54$ .

$- 240$

Paso 10

$x = \frac{3}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3}{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = 6 {(\frac{3}{2})}^{4} - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{81}{2^{4}}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{81}{16}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{81}{16}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{81}{2 \cdot 8})) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{81}{2 \cdot 8})) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{81}{8}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{81}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 81}{8} - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $3$ por $81$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 24 {(\frac{3}{2})}^{3} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 24 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 24 \frac{27}{2^{3}} - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 24 (\frac{27}{8}) - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.10

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.10.1

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + 8 (- 3) (\frac{27}{8}) - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.10.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + 8 \cdot (- 3 (\frac{27}{8})) - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.10.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 3 \cdot 27 - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.11

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - 93 {(\frac{3}{2})}^{2} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.12

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - 93 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.13

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - 93 \frac{9}{2^{2}} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - 93 (\frac{9}{4}) + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.15

Multiplica $- 93 (\frac{9}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.15.1

Combina $- 93$ y $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 + \frac{- 93 \cdot 9}{4} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.15.2

Multiplica $- 93$ por $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 + \frac{- 837}{4} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - \frac{837}{4} + 360 (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.17

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.17.1

Factoriza $2$ de $360$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - \frac{837}{4} + 2 (180) (\frac{3}{2}) + 25$

Paso 11.2.1.17.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - \frac{837}{4} + 2 \cdot (180 (\frac{3}{2})) + 25$

Paso 11.2.1.17.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - \frac{837}{4} + 180 \cdot 3 + 25$

Paso 11.2.1.18

Multiplica $180$ por $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} - 81 - \frac{837}{4} + 540 + 25$

Paso 11.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Escribe $- 81$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81}{1} - \frac{837}{4} + 540 + 25$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{837}{4} + 540 + 25$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{- 81}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837}{4} + 540 + 25$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $\frac{837}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - (\frac{837}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 540 + 25$

Paso 11.2.2.5

Multiplica $\frac{837}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 540 + 25$

Paso 11.2.2.6

Escribe $540$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540}{1} + 25$

Paso 11.2.2.7

Multiplica $\frac{540}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540}{1} \cdot \frac{8}{8} + 25$

Paso 11.2.2.8

Multiplica $\frac{540}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540 \cdot 8}{8} + 25$

Paso 11.2.2.9

Escribe $25$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540 \cdot 8}{8} + \frac{25}{1}$

Paso 11.2.2.10

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540 \cdot 8}{8} + \frac{25}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 11.2.2.11

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{540 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.2.12

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{540 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.2.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243}{8} + \frac{- 81 \cdot 8}{8} - \frac{837 \cdot 2}{8} + \frac{540 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243 - 81 \cdot 8 - 837 \cdot 2 + 540 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.4.1

Multiplica $- 81$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243 - 648 - 837 \cdot 2 + 540 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $- 837$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243 - 648 - 1674 + 540 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.4.3

Multiplica $540$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243 - 648 - 1674 + 4320 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 11.2.4.4

Multiplica $25$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{243 - 648 - 1674 + 4320 + 200}{8}$

Paso 11.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.1

Resta $648$ de $243$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 405 - 1674 + 4320 + 200}{8}$

Paso 11.2.5.2

Resta $1674$ de $- 405$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 2079 + 4320 + 200}{8}$

Paso 11.2.5.3

Suma $- 2079$ y $4320$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2241 + 200}{8}$

Paso 11.2.5.4

Suma $2241$ y $200$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2441}{8}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $\frac{2441}{8}$ .

$y = \frac{2441}{8}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{5}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$72 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$72 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$72 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$72 \frac{25}{2^{2}} - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$72 (\frac{25}{4}) - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.6.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$4 (18) \frac{25}{4} - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.6.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 18 \frac{25}{4} - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.6.3

Reescribe la expresión.

$18 \cdot 25 - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.7

Multiplica $18$ por $25$ .

$450 - 144 (- \frac{5}{2}) - 186$

Paso 13.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$450 - 144 (\frac{- 5}{2}) - 186$

Paso 13.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 144$ .

$450 + 2 (- 72) \frac{- 5}{2} - 186$

Paso 13.1.8.3

Cancela el factor común.

$450 + 2 \cdot - 72 \frac{- 5}{2} - 186$

Paso 13.1.8.4

Reescribe la expresión.

$450 - 72 \cdot - 5 - 186$

Paso 13.1.9

Multiplica $- 72$ por $- 5$ .

$450 + 360 - 186$

Paso 13.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Suma $450$ y $360$ .

$810 - 186$

Paso 13.2.2

Resta $186$ de $810$ .

$624$

Paso 14

$x = - \frac{5}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{5}{2}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{5}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = 6 {(- \frac{5}{2})}^{4} - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.3

Multiplica $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{2^{4}}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{16}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{625}{16}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = 3 (\frac{625}{8}) - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.7

Combina $3$ y $\frac{625}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 625}{8} - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.8

Multiplica $3$ por $625$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.11

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 (- \frac{125}{2^{3}}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 (- \frac{125}{8}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.13

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{125}{8}$ al numerador.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 24 (\frac{- 125}{8}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.13.2

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 (- 3) (\frac{- 125}{8}) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.13.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 \cdot (- 3 (\frac{- 125}{8})) - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.13.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 3 \cdot - 125 - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.14

Multiplica $- 3$ por $- 125$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.15

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.15.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.15.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.17

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.18

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 \frac{25}{2^{2}} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - 93 (\frac{25}{4}) + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.20

Multiplica $- 93 (\frac{25}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.20.1

Combina $- 93$ y $\frac{25}{4}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 + \frac{- 93 \cdot 25}{4} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.20.2

Multiplica $- 93$ por $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 + \frac{- 2325}{4} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} + 360 (- \frac{5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.22

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.22.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} + 360 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.22.2

Factoriza $2$ de $360$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} + 2 (180) (\frac{- 5}{2}) + 25$

Paso 15.2.1.22.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} + 2 \cdot (180 (\frac{- 5}{2})) + 25$

Paso 15.2.1.22.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} + 180 \cdot - 5 + 25$

Paso 15.2.1.23

Multiplica $180$ por $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 375 - \frac{2325}{4} - 900 + 25$

Paso 15.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Escribe $375$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375}{1} - \frac{2325}{4} - 900 + 25$

Paso 15.2.2.2

Multiplica $\frac{375}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{2325}{4} - 900 + 25$

Paso 15.2.2.3

Multiplica $\frac{375}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325}{4} - 900 + 25$

Paso 15.2.2.4

Multiplica $\frac{2325}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - (\frac{2325}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 900 + 25$

Paso 15.2.2.5

Multiplica $\frac{2325}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 900 + 25$

Paso 15.2.2.6

Escribe $- 900$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900}{1} + 25$

Paso 15.2.2.7

Multiplica $\frac{- 900}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900}{1} \cdot \frac{8}{8} + 25$

Paso 15.2.2.8

Multiplica $\frac{- 900}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + 25$

Paso 15.2.2.9

Escribe $25$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + \frac{25}{1}$

Paso 15.2.2.10

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + \frac{25}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 15.2.2.11

Multiplica $\frac{25}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.2.12

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.2.13

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{375 \cdot 8}{8} - \frac{2325 \cdot 2}{8} + \frac{- 900 \cdot 8}{8} + \frac{25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 375 \cdot 8 - 2325 \cdot 2 - 900 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.4.1

Multiplica $375$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 3000 - 2325 \cdot 2 - 900 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.4.2

Multiplica $- 2325$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 3000 - 4650 - 900 \cdot 8 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.4.3

Multiplica $- 900$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 3000 - 4650 - 7200 + 25 \cdot 8}{8}$

Paso 15.2.4.4

Multiplica $25$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 3000 - 4650 - 7200 + 200}{8}$

Paso 15.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.5.1

Suma $1875$ y $3000$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{4875 - 4650 - 7200 + 200}{8}$

Paso 15.2.5.2

Resta $4650$ de $4875$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{225 - 7200 + 200}{8}$

Paso 15.2.5.3

Resta $7200$ de $225$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6975 + 200}{8}$

Paso 15.2.5.4

Suma $- 6975$ y $200$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6775}{8}$

Paso 15.2.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{6775}{8}$

Paso 15.2.6

La respuesta final es $- \frac{6775}{8}$ .

$y = - \frac{6775}{8}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$72 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 - 186$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$72 \cdot 16 - 144 \cdot 4 - 186$

Paso 17.1.2

Multiplica $72$ por $16$ .

$1152 - 144 \cdot 4 - 186$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 144$ por $4$ .

$1152 - 576 - 186$

Paso 17.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Resta $576$ de $1152$ .

$576 - 186$

Paso 17.2.2

Resta $186$ de $576$ .

$390$

Paso 18

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 6 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3} - 93 {(4)}^{2} + 360 (4) + 25$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (4) = 6 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3} - 93 {(4)}^{2} + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.2

Multiplica $6$ por $256$ .

$f (4) = 1536 - 24 {(4)}^{3} - 93 {(4)}^{2} + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = 1536 - 24 \cdot 64 - 93 {(4)}^{2} + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $64$ .

$f (4) = 1536 - 1536 - 93 {(4)}^{2} + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 1536 - 1536 - 93 \cdot 16 + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.6

Multiplica $- 93$ por $16$ .

$f (4) = 1536 - 1536 - 1488 + 360 (4) + 25$

Paso 19.2.1.7

Multiplica $360$ por $4$ .

$f (4) = 1536 - 1536 - 1488 + 1440 + 25$

Paso 19.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.2.1

Resta $1536$ de $1536$ .

$f (4) = 0 - 1488 + 1440 + 25$

Paso 19.2.2.2

Resta $1488$ de $0$ .

$f (4) = - 1488 + 1440 + 25$

Paso 19.2.2.3

Suma $- 1488$ y $1440$ .

$f (4) = - 48 + 25$

Paso 19.2.2.4

Suma $- 48$ y $25$ .

$f (4) = - 23$

Paso 19.2.3

La respuesta final es $- 23$ .

$y = - 23$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = 6 x^{4} - 24 x^{3} - 93 x^{2} + 360 x + 25$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{2441}{8})$ es un máximo local

$(- \frac{5}{2}, - \frac{6775}{8})$ es un mínimo local

$(4, - 23)$ es un mínimo local

Paso 21