Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Paso 1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Paso 1.4.2

Combina $14$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.4.4

Combina $- 48$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Paso 1.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{14}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.2.8

Multiplica $- 3$ por $14$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{48}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 2.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 5})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 4$ por $- 48$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + 192 x^{- 5}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 x^{- 5}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $- 42$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 2.4.3.3

Combina $192$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + \frac{192}{x^{5}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Paso 4.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Paso 4.1.4.2

Combina $14$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.4

Combina $- 48$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Paso 4.1.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Paso 5.2.2

Como $x^{3}, x^{4}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{3}, x^{4}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 5.2.6

Los factores para $x^{3}$ son $x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $3$ veces.

Paso 5.2.7

Los factores para $x^{4}$ son $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $4$ veces.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $4$ veces.

Paso 5.2.8

El MCM de $x^{3}, x^{4}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Paso 5.2.9

Simplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Paso 5.2.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Paso 5.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Paso 5.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Paso 5.2.9.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.9.3.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 5.2.9.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Paso 5.2.9.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1}$

Paso 5.2.9.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ por $x^{4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} x^{4} - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$14 x - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{48}{x^{4}}$ al numerador.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$14 x - 48 = 0 x^{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{4}$ .

$14 x - 48 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $48$ a ambos lados de la ecuación.

$14 x = 48$

Paso 5.4.2

Divide cada término en $14 x = 48$ por $14$ y simplifica.

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Paso 5.4.2.1

Divide cada término en $14 x = 48$ por $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 5.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Paso 5.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{48}{14}$

Paso 5.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común de $48$ y $14$ .

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Paso 5.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $48$ .

$x = \frac{2 (24)}{14}$

Paso 5.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Paso 5.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Paso 5.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{24}{7}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{14}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el denominador en $\frac{48}{x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} = 0$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 6.4.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 6.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 6.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.4.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{24}{7}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{24}{7}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{42}{{(\frac{24}{7})}^{4}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{42}{\frac{24^{4}}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{2401}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (42 (\frac{2401}{331776})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.1.3.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$- (6 (7) \frac{2401}{331776}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.3.2

Factoriza $6$ de $331776$ .

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.3.3

Cancela el factor común.

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- (7 (\frac{2401}{55296})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.4

Combina $7$ y $\frac{2401}{55296}$ .

$- \frac{7 \cdot 2401}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $7$ por $2401$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Paso 9.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{24^{5}}{7^{5}}}$

Paso 9.1.6.2

Eleva $24$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{7^{5}}}$

Paso 9.1.6.3

Eleva $7$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{16807}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{16807}{55296} + 192 (\frac{16807}{7962624})$

Paso 9.1.8

Cancela el factor común de $192$ .

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Paso 9.1.8.1

Factoriza $192$ de $7962624$ .

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 (41472)}$

Paso 9.1.8.2

Cancela el factor común.

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 \cdot 41472}$

Paso 9.1.8.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{16807}{55296} + \frac{16807}{41472}$

Paso 9.2

Para escribir $- \frac{16807}{55296}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472}$

Paso 9.3

Para escribir $\frac{16807}{41472}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 9.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $165888$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.4.1

Multiplica $\frac{16807}{55296}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{55296 \cdot 3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 9.4.2

Multiplica $55296$ por $3$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 9.4.3

Multiplica $\frac{16807}{41472}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{41472 \cdot 4}$

Paso 9.4.4

Multiplica $41472$ por $4$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{165888}$

Paso 9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 16807 \cdot 3 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Paso 9.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.6.1

Multiplica $- 16807$ por $3$ .

$\frac{- 50421 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Paso 9.6.2

Multiplica $16807$ por $4$ .

$\frac{- 50421 + 67228}{165888}$

Paso 9.6.3

Suma $- 50421$ y $67228$ .

$\frac{16807}{165888}$

Paso 10

$x = \frac{24}{7}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{24}{7}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{24}{7}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{24}{7}$ en la expresión.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{24}{7})}^{- 2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{7}{24})}^{2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{7^{2}}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{49}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.4

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 (\frac{49}{576}) + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 7 (\frac{49}{576})$ .

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Paso 11.2.1.5.1

Combina $- 7$ y $\frac{49}{576}$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 7 \cdot 49}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.5.2

Multiplica $- 7$ por $49$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Paso 11.2.1.7

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{7}{24})}^{3}$

Paso 11.2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{7^{3}}{24^{3}})$

Paso 11.2.1.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{24^{3}})$

Paso 11.2.1.10

Eleva $24$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{13824})$

Paso 11.2.1.11

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 11.2.1.11.1

Factoriza $16$ de $13824$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 (864)})$

Paso 11.2.1.11.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 \cdot 864})$

Paso 11.2.1.11.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + \frac{343}{864}$

Paso 11.2.2

Para escribir $- \frac{343}{576}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864}$

Paso 11.2.3

Para escribir $\frac{343}{864}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $1728$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $\frac{343}{576}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{576 \cdot 3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $576$ por $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.4.3

Multiplica $\frac{343}{864}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{864 \cdot 2}$

Paso 11.2.4.4

Multiplica $864$ por $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{1728}$

Paso 11.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343 \cdot 3 + 343 \cdot 2}{1728}$

Paso 11.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.6.1

Multiplica $- 343$ por $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 343 \cdot 2}{1728}$

Paso 11.2.6.2

Multiplica $343$ por $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 686}{1728}$

Paso 11.2.6.3

Suma $- 1029$ y $686$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{1728}$

Paso 11.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{1728}$

Paso 11.2.8

La respuesta final es $- \frac{343}{1728}$ .

$y = - \frac{343}{1728}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ .

$(\frac{24}{7}, - \frac{343}{1728})$ es un mínimo local

Paso 13