Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x + 16 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Paso 2.2.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Paso 4

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.51493326$

Paso 5

Evalúa la segunda derivada en $x = - 0.51493326$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Paso 7

$x = - 0.51493326$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 0.51493326$ es un mínimo local

Paso 8

Obtén el valor de y cuando $x = - 0.51493326$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.51493326$ en la expresión.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $- 0.51493326$ a la potencia de $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $8$ por $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Paso 8.2.2

Suma $2.12125013$ y $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Paso 9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ es un mínimo local

Paso 10