Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 e^{- 8 x}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 8 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.6

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 5 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Paso 1.3.6

Mueve $- 5$ a la izquierda de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (64 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 e^{- 8 x}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$f'' (x) = 64 \frac{d}{d x} (e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 8 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 64 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.6

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{- 8 x}$ .

$f'' (x) = 64 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 8$ por $64$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $- 25 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 5 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Paso 2.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Paso 2.3.6

Mueve $- 5$ a la izquierda de $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 5$ por $- 25$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + 125 e^{- 5 x}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 125 e^{- 5 x} - 512 e^{- 8 x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 e^{- 8 x}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 8 x$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.6

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 5 x$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 4.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 4.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 4.1.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Paso 4.1.3.6

Mueve $- 5$ a la izquierda de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f' (x) = 64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Paso 5.2

Mueve $- 25 e^{- 5 x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$64 e^{- 8 x} = 25 e^{- 5 x}$

Paso 5.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (64 e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Paso 5.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Reescribe $\ln (64 e^{- 8 x})$ como $\ln (64) + \ln (e^{- 8 x})$ .

$\ln (64) + \ln (e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Paso 5.4.2

Expande $\ln (e^{- 8 x})$ ; para ello, mueve $- 8 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (64) - 8 x \ln (e) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Paso 5.4.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (64) - 8 x \cdot 1 = \ln (25 e^{- 5 x})$

Paso 5.4.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25 e^{- 5 x})$

Paso 5.5

Expande el lado derecho.

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Paso 5.5.1

Reescribe $\ln (25 e^{- 5 x})$ como $\ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$

Paso 5.5.2

Expande $\ln (e^{- 5 x})$ ; para ello, mueve $- 5 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \ln (e)$

Paso 5.5.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \cdot 1$

Paso 5.5.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x$

Paso 5.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (64) - \ln (25) = 8 x - 5 x$

Paso 5.7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 8 x - 5 x$

Paso 5.8

Resta $5 x$ de $8 x$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 3 x$

Paso 5.9

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$

Paso 5.10

Divide cada término en $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.10.1

Divide cada término en $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Paso 5.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Paso 5.10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$125 e^{- 5 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$125 e^{- 5 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$125 e^{- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.3

Simplifica $- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ al mover $- 5$ dentro del algoritmo.

$125 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$125 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.5

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5}$ .

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Paso 9.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 5$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$125 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.6

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$125 {(\frac{25}{64})}^{\frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.7

Aplica la regla del producto a $\frac{25}{64}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{64^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.8

Simplifica el denominador.

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Paso 9.8.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.8.3.1

Cancela el factor común.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.8.3.2

Reescribe la expresión.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.8.4

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9

Multiplica $125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

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Paso 9.9.1

Combina $125$ y $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$\frac{125 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{5^{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.4

Multiplica los exponentes en ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 9.9.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.4.2

Multiplica $2 (\frac{5}{3})$ .

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Paso 9.9.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.4.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5^{3 + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.6

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.7

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.9.9.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{5^{\frac{9 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.9.9.2

Suma $9$ y $10$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Paso 9.10

Reescribe $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))}$

Paso 9.11

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 9.12

Simplifica $- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ al mover $- 8$ dentro del algoritmo.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8})}$

Paso 9.13

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$

Paso 9.14

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$ .

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Paso 9.14.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 8}$

Paso 9.14.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 8}{3}}$

Paso 9.14.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{8}{3}}$

Paso 9.15

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{25}{64})}^{\frac{8}{3}}$

Paso 9.16

Aplica la regla del producto a $\frac{25}{64}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{64^{\frac{8}{3}}}$

Paso 9.17

Simplifica el denominador.

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Paso 9.17.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Paso 9.17.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Paso 9.17.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.17.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Paso 9.17.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}}$

Paso 9.17.4

Eleva $4$ a la potencia de $8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Paso 9.18

Cancela el factor común de $512$ .

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Paso 9.18.1

Factoriza $512$ de $- 512$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 (- 1) \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Paso 9.18.2

Factoriza $512$ de $65536$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Paso 9.18.3

Cancela el factor común.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Paso 9.18.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Paso 9.19

Reescribe $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ como $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Paso 10

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ .

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Paso 11.1

Simplify $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ to substitute in $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

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Paso 11.1.1

Reescribe $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{64}{25})$

Paso 11.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 11.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{64}{25}$ .

$y = \ln (\frac{64^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.4.1

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$y = \ln (\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.1.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.1.4.4

Evalúa el exponente.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Paso 11.2

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ en la expresión.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3

Simplifica el resultado.

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Paso 11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1.1

Simplifica $- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ al mover $- 8$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.5

Multiplica los exponentes en ${(25^{\frac{1}{3}})}^{8}$ .

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Paso 11.3.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.7

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 11.3.1.7.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 (- 1) (\frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.7.2

Factoriza $8$ de $65536$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.7.3

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.8

Reescribe $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ como $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 11.3.1.9

Simplifica $- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ al mover $- 5$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5})}$

Paso 11.3.1.10

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5}$

Paso 11.3.1.11

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{5}$

Paso 11.3.1.12

Aplica la regla del producto a $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{5}}{4^{5}})$

Paso 11.3.1.13

Multiplica los exponentes en ${(25^{\frac{1}{3}})}^{5}$ .

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Paso 11.3.1.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{4^{5}})$

Paso 11.3.1.13.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}})$

Paso 11.3.1.14

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024})$

Paso 11.3.1.15

Multiplica $5 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

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Paso 11.3.1.15.1

Combina $5$ y $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.3

Multiplica los exponentes en ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 11.3.1.15.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.3.2

Multiplica $2 (\frac{5}{3})$ .

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Paso 11.3.1.15.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{5}{3}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.3.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{1 + \frac{10}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3 + 10}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.1.15.7

Suma $3$ y $10$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Paso 11.3.2

La respuesta final es $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$ .

$y = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}, - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024})$ es un máximo local

Paso 13