Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \cos^{4} (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Paso 1.5

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos^{3} (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Paso 2.4

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Multiplica $\cos^{3} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Paso 2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Paso 2.4.2

Suma $3$ y $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Paso 2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Paso 2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Paso 2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Paso 2.13.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 5

Establece $\cos^{3} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\cos^{3} (x)$ igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\cos^{3} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\cos (x) = 0$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 5.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.7

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 6

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.3

Multiplica $96$ por $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Paso 9.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Paso 9.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Paso 9.1.9

Multiplica $- 32$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 9.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Evalúa $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Paso 10.2.2.2

Eleva $- 0.41614683$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Paso 10.2.2.3

Multiplica $- 32$ por $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Paso 10.2.2.4

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Paso 10.2.2.5

Multiplica $2.30616178$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Paso 10.2.2.6

La respuesta final es $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \frac{π}{2})$ en la primera derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Paso 10.3.2.2

Eleva $0.5403023$ a la potencia de $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Paso 10.3.2.3

Multiplica $- 32$ por $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Paso 10.3.2.4

Evalúa $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Paso 10.3.2.5

Multiplica $- 5.04731536$ por $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Paso 10.3.2.6

La respuesta final es $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{π}{2}, π)$ en la primera derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.4.2.1

Evalúa $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Paso 10.4.2.2

Eleva $- 0.41614683$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Paso 10.4.2.3

Multiplica $- 32$ por $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Paso 10.4.2.4

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Paso 10.4.2.5

Multiplica $2.30616178$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Paso 10.4.2.6

La respuesta final es $2.09698697$ .

$2.09698697$

Paso 10.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(π, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Paso 10.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.5.2.1

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Paso 10.5.2.2

Eleva $- 0.65364362$ a la potencia de $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $- 32$ por $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Paso 10.5.2.4

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Paso 10.5.2.5

Multiplica $8.93661523$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Paso 10.5.2.6

La respuesta final es $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Paso 10.6

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.6.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Paso 10.6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.6.2.1

Evalúa $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Paso 10.6.2.2

Eleva $0.75390225$ a la potencia de $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Paso 10.6.2.3

Multiplica $- 32$ por $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Paso 10.6.2.4

Evalúa $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Paso 10.6.2.5

Multiplica $- 13.71182002$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Paso 10.6.2.6

La respuesta final es $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Paso 10.7

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local.

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 10.9

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = π$ , $x = π$ es un máximo local.

$x = π$ es un máximo local

Paso 10.10

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = \frac{3 π}{2}$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = π$ es un máximo local

$x = \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = π$ es un máximo local

Paso 11