Cálculo Ejemplos

$f (x) = 40 x + 4000 x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $40 x + 4000 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $40$ por $1$ .

$40 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4000 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$40 + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$40 + 4000 (- x^{- 2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $4000$ .

$40 - 4000 x^{- 2}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 4000 x^{- 2} + 40$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4000 x^{- 2} + 40$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4000 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [40]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4000 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (40)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4000 x^{- 2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4000 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 4000 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (40)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 4000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (40)$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 4000$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (40)$

Paso 2.3

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $8000 x^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8000 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.4.3

Combina $8000$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8000}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $40 x + 4000 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $40 x$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $40$ por $1$ .

$40 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $4000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4000 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$40 + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$40 + 4000 (- x^{- 2})$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $4000$ .

$40 - 4000 x^{- 2}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 4000 x^{- 2} + 40$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4000 x^{- 2} + 40$ .

$- 4000 x^{- 2} + 40$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4000 \frac{1}{x^{2}} + 40 = 0$

Paso 5.2.2

Combina $- 4000$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4000}{x^{2}} + 40 = 0$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4000}{x^{2}} + 40 = 0$

Paso 5.3

Resta $40$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$

Paso 5.4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 5.4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 5.5

Multiplica cada término en $- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.5.1

Multiplica cada término en $- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$ por $x^{2}$ .

$- \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4000}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Paso 5.5.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Paso 5.5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4000 = - 40 x^{2}$

Paso 5.6

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $- 40 x^{2} = - 4000$ .

$- 40 x^{2} = - 4000$

Paso 5.6.2

Divide cada término en $- 40 x^{2} = - 4000$ por $- 40$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Divide cada término en $- 40 x^{2} = - 4000$ por $- 40$ .

$\frac{- 40 x^{2}}{- 40} = \frac{- 4000}{- 40}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común de $- 40$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 40 x^{2}}{- 40} = \frac{- 4000}{- 40}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4000}{- 40}$

Paso 5.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.3.1

Divide $- 4000$ por $- 40$ .

$x^{2} = 100$

Paso 5.6.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{100}$

Paso 5.6.4

Simplifica $\pm \sqrt{100}$ .

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Paso 5.6.4.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Paso 5.6.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 10$

Paso 5.6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 10$

Paso 5.6.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 10$

Paso 5.6.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 10, - 10$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece la base en $x^{- 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 10, - 10$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 10$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8000}{{(10)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8000}{1000}$

Paso 9.2

Divide $8000$ por $1000$ .

$8$

Paso 10

$x = 10$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 10$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 10$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f (10) = 40 (10) + 4000 {(10)}^{- 1}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $40$ por $10$ .

$f (10) = 400 + 4000 {(10)}^{- 1}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (10) = 400 + 4000 (\frac{1}{10})$

Paso 11.2.1.3

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 11.2.1.3.1

Factoriza $10$ de $4000$ .

$f (10) = 400 + 10 (400) (\frac{1}{10})$

Paso 11.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (10) = 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10}))$

Paso 11.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (10) = 400 + 400$

Paso 11.2.2

Suma $400$ y $400$ .

$f (10) = 800$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $800$ .

$y = 800$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 10$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8000}{{(- 10)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8000}{- 1000}$

Paso 13.2

Divide $8000$ por $- 1000$ .

$- 8$

Paso 14

$x = - 10$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 10$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - 10$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f (- 10) = 40 (- 10) + 4000 {(- 10)}^{- 1}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $40$ por $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 4000 {(- 10)}^{- 1}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 10) = - 400 + 4000 (\frac{1}{- 10})$

Paso 15.2.1.3

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 15.2.1.3.1

Factoriza $10$ de $4000$ .

$f (- 10) = - 400 + 10 (400) (\frac{1}{- 10})$

Paso 15.2.1.3.2

Factoriza $10$ de $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10 \cdot - 1}))$

Paso 15.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$f (- 10) = - 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10 \cdot - 1}))$

Paso 15.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$f (- 10) = - 400 + 400 (\frac{1}{- 1})$

Paso 15.2.1.4

Combina $400$ y $\frac{1}{- 1}$ .

$f (- 10) = - 400 + \frac{400}{- 1}$

Paso 15.2.1.5

Divide $400$ por $- 1$ .

$f (- 10) = - 400 - 400$

Paso 15.2.2

Resta $400$ de $- 400$ .

$f (- 10) = - 800$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- 800$ .

$y = - 800$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 40 x + 4000 x^{- 1}$ .

$(10, 800)$ es un mínimo local

$(- 10, - 800)$ es un máximo local

Paso 17