Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x \sqrt{x - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.3

Mueve ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 1.15

Multiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.16

Simplifica.

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Paso 1.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x)) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2

Combina los términos.

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Paso 1.16.2.1

Combina $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2.3

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.16.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.3

Reordena los términos.

$(1 - 2 x) \frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.16.4.1

Multiplica $1 - 2 x$ por $\frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - 2 x$ .

$\frac{2 (1 - 2 x) x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16.5

Para escribir $4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (1 - 2 x) x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (1 - 2 x) x + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.16.7.1

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 x) x + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.16.7.1.1

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 x) x$ .

$\frac{2 ((1 - 2 x) x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.1.2

Factoriza $2$ de $4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((1 - 2 x) x) + 2 (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.1.3

Factoriza $2$ de $2 ((1 - 2 x) x) + 2 (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((1 - 2 x) x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (1 x - 2 x \cdot x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 2 x \cdot x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.16.7.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x - 2 (x \cdot x) + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.5

Multiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.16.7.5.1

Mueve ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.5.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{1})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.6

Simplifica $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.9

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.10

Resta $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 4 x^{2} + 3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.11

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2} + 3 x$ .

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Paso 1.16.7.11.1

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x (- 4 x) + 3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.11.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{2 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.7.11.3

Factoriza $x$ de $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$\frac{2 (x (- 4 x + 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 x (- 4 x + 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.8

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- (4 x) + 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.9

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x (- (4 x) - 1 (- 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.10

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x (- (4 x - 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.11

Reescribe $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{2 x (- 1 (4 x - 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 x) (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.16.13

Reordena los factores en $- \frac{(2 x) (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (4 x - 3)$ y $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 x - 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.6.8.1

Multiplica $4 x - 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.6.8.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - x^{2}$ .

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Paso 2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.12

Combina fracciones.

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Paso 2.12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.12.3

Mueve ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.12.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

Paso 2.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Paso 2.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Paso 2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

Paso 2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.17

Combina fracciones.

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Paso 2.17.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.17.2

Combina $- 2$ y $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.17.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2) ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18

Simplifica.

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Paso 2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 2 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.18.2.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) + 2 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

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Paso 2.18.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 2 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.1.2

Factoriza $2$ de $2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 2 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.18.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.6.2

Factoriza $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.6.3

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.6.4

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.6.5

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.7

Combina $2$ y $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.9

Combina $\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 2.18.2.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.13

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.14

Multiplica $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ .

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Paso 2.18.2.14.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.14.2

Combina $3$ y $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.16

Expande $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.18.2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.16.3

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 2.18.2.17

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.18.2.17.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.18.2.17.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2

Multiplica $- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ .

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Paso 2.18.2.17.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.2

Combina $2$ y $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.4

Combina $\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.2.7

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.3

Multiplica $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.17.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.6

Multiplica $- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.17.1.6.1

Combina $x$ y $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.17.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.19

Resta $3 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.20

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.20.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.20.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.20.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.21

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.22

Para escribir $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.18.2.23.1

Multiplica $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.23.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25

Simplifica el numerador.

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Paso 2.18.2.25.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ .

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Paso 2.18.2.25.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.1.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.1.3

Factoriza $x$ de $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.4

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.18.2.25.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.8

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.18.2.25.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 2.18.2.25.9.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 4$ más $- 6$

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.18.2.25.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.25.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.26

Para escribir $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.27

Combina $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ y $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.29

Para escribir $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.30

Combina $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32

Reescribe $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.18.2.32.1

Multiplica $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 2.18.2.32.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.3

Multiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.1.3.1

Mueve ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.3.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.1.4

Simplifica $16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 2.18.2.32.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.10.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.10.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.10.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.10.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.11

Expande $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.12.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.12.1.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.12.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

Paso 2.18.2.32.12.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.12.1.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.1.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.12.2

Resta $4 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.14

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15

Multiplica $- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.15.1

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.2

Multiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.15.2.1

Mueve ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.15.3

Simplifica $- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.16

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.17

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.18

Suma $- 16 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.19

Resta $10 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.20

Suma $6 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.21

Resta $6 x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.22

Factoriza $x$ de $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.18.2.32.22.1

Factoriza $x$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.22.2

Factoriza $x$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.22.3

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.22.4

Factoriza $x$ de $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.2.32.22.5

Factoriza $x$ de $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.3

Combina los términos.

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Paso 2.18.3.1

Combina $2$ y $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (x (- 8 x^{2} + 12 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.3.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.3.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x - x^{2}}$

Paso 2.18.3.4

Reescribe $\frac{\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x - x^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - x^{2}})$

Paso 2.18.3.5

Multiplica $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (x - x^{2})}$

Paso 2.18.3.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + x)}$

Paso 2.18.3.7

Multiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.18.3.7.1

Multiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + x$ .

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Paso 2.18.3.7.1.1

Eleva $- x^{2} + x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + x)}$

Paso 2.18.3.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.18.3.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.18.3.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.18.3.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.4

Factoriza $- 1$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- (8 x^{2}) + 12 x - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.5

Factoriza $- 1$ de $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.6

Factoriza $- 1$ de $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- (8 x^{2} - 12 x) - 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.7

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.8

Factoriza $- 1$ de $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- (8 x^{2} - 12 x + 3))}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.9

Reescribe $- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ como $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{x (- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3))}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{x (8 x^{2} - 12 x + 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.18.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{x (8 x^{2} - 12 x + 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.18.12

Multiplica $\frac{x (8 x^{2} - 12 x + 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (8 x^{2} - 12 x + 3)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.2

$f' (x) = 4 (x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8

Combina fracciones.

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Paso 4.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.3

Mueve ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 4.1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Paso 4.1.15

Multiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.1.16

Simplifica.

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Paso 4.1.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 4 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2

Combina los términos.

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Paso 4.1.16.2.1

Combina $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot 4}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2.3

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.16.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x)}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2.4.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (2 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.3

Reordena los términos.

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.16.4.1

Multiplica $1 - 2 x$ por $\frac{2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) (2 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - 2 x) x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16.5

Para escribir $4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - 2 x) x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 (1 - 2 x) x + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.16.7.1

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 x) x + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.16.7.1.1

Factoriza $2$ de $2 (1 - 2 x) x$ .

$f' (x) = \frac{2 ((1 - 2 x) x) + 4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.1.2

Factoriza $2$ de $4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 ((1 - 2 x) x) + 2 (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.1.3

Factoriza $2$ de $2 ((1 - 2 x) x) + 2 (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f' (x) = \frac{2 ((1 - 2 x) x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (1 x - 2 x \cdot x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x \cdot x + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.16.7.4.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 (x \cdot x) + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.5

Multiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.16.7.5.1

Mueve ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.5.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.6

Simplifica $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.9

Suma $x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.10

Resta $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 4 x^{2} + 3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.11

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.16.7.11.1

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x (- 4 x) + 3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.11.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.7.11.3

Factoriza $x$ de $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{2 (x (- 4 x + 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{2 x (- 4 x + 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.8

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (4 x) + 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.9

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.10

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (4 x - 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.11

Reescribe $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (4 x - 3))}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(2 x) (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.16.13

Reordena los factores en $- \frac{(2 x) (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (4 x - 3) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3.3

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Establece $4 x - 3$ igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Paso 5.3.3.2

Resuelve $4 x - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 3$

Paso 5.3.3.2.2

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 5.3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (4 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Paso 5.4

Excluye las soluciones que no hagan que $- \frac{2 x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{3}{4}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{\sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{2 x (4 x - 3)}{\sqrt{x - x^{2}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2 x (4 x - 3)}{\sqrt{x - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x - x^{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - x^{2}}$ como ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x - x^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x - x^{2} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.2

Factoriza $u$ de $u - u^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.2.2

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Paso 6.3.3.1.2.3

Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Paso 6.3.3.1.2.4

Factoriza $u$ de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Paso 6.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Paso 6.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 6.3.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.3.4

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.4.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 6.3.3.4.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 6.3.3.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.3.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.3.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 6.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{x - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - x^{2} < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x - x^{2} = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $x$ de $x - x^{2}$ .

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Paso 6.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Paso 6.5.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Paso 6.5.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Paso 6.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 6.5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5.5

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.5.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 6.5.5.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 6.5.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.5.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 6.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 6.5.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 6.5.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.5.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.5.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

Paso 6.5.8.1.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.5.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 6.5.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

Paso 6.5.8.2.3

$0.25$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.5.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.5.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.5.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

Paso 6.5.8.3.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.5.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 6.5.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 1$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{(\frac{3}{4}) (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(\frac{3}{4}) (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{3}{4} (8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{3}{4} (8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{3}{4} (8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{\frac{3}{4} (8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3}{4} (8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.6

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - 9 + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.7

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.8

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.10.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{9 - 18}{2} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.10.2

Resta $18$ de $9$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{- 9}{2} + 3)}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.11

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.12

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{4} (\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.14.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{- 9 + 6}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.14.2

Suma $- 9$ y $6$ .

$\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{- 3}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{3}{4} \cdot - 1 \frac{3}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.16

Combina exponentes.

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Paso 9.2.16.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2})}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.16.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.16.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{- \frac{9}{4 \cdot 2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2.16.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.2

Para escribir $\frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.5.2

Suma $- 9$ y $12$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{16}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{16^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 9.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 9.3.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 9.3.7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{3}}}$

Paso 9.3.7.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- \frac{9}{8}}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{64}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{9}{8} \cdot \frac{64}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{8}$ al numerador.

$\frac{- 9}{8} \cdot \frac{64}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5.2

Factoriza $8$ de $64$ .

$\frac{- 9}{8} \cdot \frac{8 (8)}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 9}{8} \cdot \frac{8 \cdot 8}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.5.4

Reescribe la expresión.

$- 9 \frac{8}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.6

Combina $- 9$ y $\frac{8}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 8}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.7

Simplifica la expresión.

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Paso 9.7.1

Multiplica $- 9$ por $8$ .

$\frac{- 72}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{72}{3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

$x = \frac{3}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3}{4}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3}{4}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{3}{4}) \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Paso 11.2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

Paso 11.2.3

Para escribir $\frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

Paso 11.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.4.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

Paso 11.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

Paso 11.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.6.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

Paso 11.2.6.2

Resta $9$ de $12$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 \sqrt{\frac{3}{16}}$

Paso 11.2.7

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{16}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}})$

Paso 11.2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}})$

Paso 11.2.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{\sqrt{3}}{4})$

Paso 11.2.9

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Paso 11.2.10

La respuesta final es $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{{(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{{(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{{(- 0 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{{(0 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0^{3}}$

Paso 13.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Paso 13.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{(0) (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15